Многократных измерений

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ

Лабораторная работа 2

Ц е л ь р а б о т ы: Приобретение навыков статистической обработки прямых многократных измерений. Закрепление навыков работы с измерительными приборами.

Основные теоретические положения

1. Оценки случайных погрешностей.

Результаты многократных измерений почти всегда содержат случайные ошибки. Наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения. Однако для решения многих практических задач вполне достаточно знать простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение . Для нормального распределения вероятностей случайных погрешностей числа и являются исчерпывающими характеристиками.

Теоретически и должны определяться при бесконечном числе опытов. Практически число опытов п всегда ограничено. Поэтому, реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные и называют их оценками. Обозначают оценки символом «*».

Вместо математического ожидания пользуются средним арифметическим результатов отдельных измерений:

.

Приближение А_ср к А₀ тем сильнее, чем больше п.

Наиболее распространенной оценкой случайной погрешности является среднеквадратическое отклонение:

.

Эта оценка – несмещенная при известном . Т.к. неизвестна, то оценка оказывается смещенной. Чтобы устранить смещение, изменяют вес, т.е.:

,

где - среднее арифметическое погрешностей.

Среднеквадратическая оценка погрешности среднего арифметического результатов измерения (оценка остаточной погрешности), определяется формулой:

,

где - отклонение от среднего.

Отклонение от среднего может быть найдено для каждого измерения. При этом отпадает необходимость исключения аддитивной систематической погрешности в результатах измерений. Это видно из следующего. Обозначим систематическую погрешность индексом С. Тогда результат i - го измерения А_i^/ = А_i + С, а среднеарифметического:

.

Поэтому .

Методика практического определения среднеквадратического значения случайной погрешности зависит от постоянства точности измерений. При равноточных измерениях (выполняются одним оператором, в одинаковых условиях, одним прибором) методика сводится к следующему.

Проводят n измерений одного и того же значения величины. Результатами измерений являются n показаний прибора А_п1, A_п2, … А_{п n}. По ним находят среднее арифметическое показаний. Затем вычисляют отклонения от А_ср, т.е. V_i:

V₁ = A_п1 – A_ср; V₂ = A_п2 – A_ср; … V_n = A_{п n} – A_ср.

Если вычисления выполнены правильно, то .

Вычисляется оценка среднеквадратического значения абсолютной погрешности:

.

Оценка среднеквадратического значения относительной погрешности определяется отношением .

При неравноточных измерениях (различные операторы, разные приборы и условия измерений), вместо среднего арифметического значения результатов измерений используют среднее взвешенное, т.е. используют веса измерений, причем вес .

Пусть А_п1, A_п2, … А_пm – независимые результаты измерений величины А₀, а среднеквадратические оценки погрешности соответствующих приборов, которыми выполнялись измерения. Тогда в качестве оценки параметра используют величину:

,

где - вес i – го измерения.

Средневзвешенная оценка является несмещенной, эффективной и состоятельной.

Среднеквадратическая абсолютная погрешность измерения определяется выражением:

.

2. Обнаружение грубых погрешностей.

При статистической обработке результатов измерений необходимо убедиться в том, что они не содержат грубых ошибок. Эта задача решается статистическими методами. Для нормального распределения рассчитаны границы максимально и минимально допустимых погрешностей при n измерениях. Расчеты сведены в таблицы, которые определяют нормированный критерий разброса результата измерения от среднего значения:

.

Критерий t_Г рассчитан в зависимости от n и от уровня значимости – q%. Уровень значимости q% выбирают достаточно малым, чтобы была малой вероятность ошибки. Поэтому таблицы называют таблицами q – процентных точек распределения (Приложение 3).

Чтобы определить наличие грубой ошибки в К – ом результате А_пк, необходимо сначала вычислить t_Гк:

,

где А_ср и определяют с учетом всех n результатов. Затем, выбрав уровень значимости q, по таблицам находят t_Г. Если > , то можно отбросить.

3. Доверительные интервалы.

Рассмотренные оценки результатов измерений А_ср, , выражаются одним числом и называются точечным. Т. к. такую оценку принимают за действительное значение измеряемой величины, то встает вопрос об её точности и надежности. Судят об этом по вероятности того, что абсолютная величина отклонения будет оставаться меньше некоторой назначенной величины :

,

или:

.

Величина характеризует точность, а надежность оценки. Поэтому вероятность называют д о в е р и т е л ь н о й в е р о я т н о с т ь ю.

Равенство можно переписать в виде:

.

Это выражение показывает, что интервал с вероятностью , накрывает величину А_0. Поэтому его называют д о в е р и т е л ь н ы м и н т е р в а л о м.

Подставим в последнее выражение нормированные величины:

и .

Тогда можно записать известное из теории вероятностей равенство:

.

Видим, что .

Функция табулирована, только вместо индекса в таблицах применяют индекс х, т.е. табулируют функцию . Очевидно, что х ≡ . Таблицы функции приведены в справочниках по высшей математике. В таблицах каждому значению х соответствует значение . Значит, если задано значение доверительной вероятности , то по таблицам легко найти соответствующее значение х, тождественно равное (Приложение 1). Можно решать и обратную задачу.

С учетом изложенного, определение интервальной оценки можно выполнить в следующем порядке.

1. По результатам измерений вычисляют .

2. Задают доверительную вероятность . Обычно >0,9.

3. По таблице интеграла вероятности находят при = значение (Приложение 1).

4. Так как , то , а .

При малом числе измерений 2 < n < 20 доверительный интервал должен быть расширен. С этой целью вместо коэффициента используют коэффициент Стьюдента . Его значение рассчитаны для различных n и . Результаты расчетов табулированы (Приложение 2).

В ряде случаев, закон распределения погрешности неизвестен, но известны его числовые характеристики .

В этих случаях для грубой оценки снизу доверительной вероятности при заданном доверительном интервале можно воспользоваться неравенством Чебышева:

.

4. Обработка прямых многократных измерений.

Алгоритм обработки результатов измерений:

1. Из результатов наблюдений исключают известные систематические погрешности. Если известно, что все результаты наблюдений содержат одинаковую систематическую погрешность, ее исключают из результата измерений. Выявляют максимальное и минимальное значения результатов.

2. Если есть подозрение о наличии грубых погрешностей, то проверяют гипотезу по критерию _Г. Для этого находят значение среднего арифметического А_ср, исключив из него систематическую погрешность, значение среднего квадратического отклонения . Вычисляют:

.

Значение и сравнивают с табличным . Если и больше , то и исключают из дальнейшей обработки.

3. Вычисляют А_ср исправленных результатов наблюдений.

4. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения абсолютной погрешности:

.

5. Рассчитывают оценку остаточной погрешности:

.

6. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной вероятности находят по выражению:

,

или

,

где - табличная величина, значение аргумента интеграла вероятности ;

- коэффициент Стьюдента.

7. Определяют границы неисключенной систематической погрешности . Для абсолютной погрешности . Для относительной .

Если погрешность результата включает ряд неисключенных систематических погрешностей, то их границы определяют по формуле:

,

где m – число погрешностей.

8. Определяют отношение . Если оно меньше 0,8, то неисключенными погрешностями пренебрегают.

Если оно больше 8, то пренебрегают случайной погрешностью и считают, что .

Если 0,8 < < 8, то при определении границ погрешности нужно учитывать и случайную и систематическую составляющие.

9. Определяют границу суммарной погрешности результата измерений:

,

где

,

.

10. Результат измерения представляют в виде:

.

Задание на лабораторную работу

1. Выполните прямые многократные (n=20) измерения напряжения.

2. Проведите статистическую обработку измерений.

3. Сделайте краткие выводы о полученных результатах (соответствие алгоритма обработки основным теоретическим положением; присутствие в результатах систематической погрешности; способы повышения точности и надежности).

Методические указания

1. Проведите внешний осмотр блока питания стенда, измерительных приборов, продефектуйте проводники. Проверьте наличие и исправность заземления. Установите все переключатели блока питания в положение «Выкл», органы регулировок – в крайнее левое положение.

2. Соберите схему согласно рис. 8. Напряжение питания берите с клемм штатива приборного 0 30В. Не включая блок питания представьте схему для проверки преподавателю.

3. После разрешения преподавателя включите блок питания. Переключатель 0 30V установите в правое положение «-». Ручкой регулировки установите напряжение 5 7В. Контролируйте уровень напряжения вольтметром ИП1.

4. Посредством вольтметра ИП2, выполните многократные измерения напряжения на одном из резисторов R7 R10. Интервал фиксации результата не должен быть меньше 1 мин. Отсчеты снимайте с точностью 0,1 В. Результаты измерений сведите в таблицу №1.

5. Обработайте результаты измерений в соответствии с приведенным алгоритмом. Значения и q задаются преподавателем.

6. Отчет должен содержать название и цель работы; схему измерений; спецификацию средств измерения; результаты измерений и расчетов по форме таблицы №3; выводы по работе.

Рис. 8

Контрольные вопросы

1. Приведите формулу представления результата измерений.

2. Как определить наличие грубой ошибки?

3. Что является полным описанием случайной величины?

4. Что характеризует площадь под кривой плотности вероятности погрешностей?

5. Что характеризует математическое ожидание погрешности?

6. Что характеризует среднее квадратическое отклонение?

7. Изобразите графически нормальный закон распределения случайной погрешности измерений для двух значений дисперсии.

8. Дайте определение точечной погрешности.

9. Дайте определение интервальной оценки.

Таблица 3

№ п/п
. . . . .

Лабораторная работа 3

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ

МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Ц е л ь р а б о т ы: Приобрести навыки статистической обработки многократных косвенных измерений. Закрепить навыки работы с измерительными приборами.

Дата добавления: 2015-04-30