Примеры решения типовых задач

Пример 1. При проведении измерительного эксперимента получены следующие значения величины: 11,65; 11,41; 11,57; 11,60; 11,50; 11,55; 11,58; 11,58; 11,61; 11,63. Требуется проанализировать полученные результаты наблюдений в целях выявления грубых погрешностей, используя критерий Диксона.

Решение:

1. Располагаем результаты наблюдений в вариационный возрастающий ряд:

11,41<11,50<11,55<11,57<11,58;11,58<11,60<11,61<11,63<11,65.

2. Записываем используемую для расчета формулу критерия Диксона:

.

3. Подставляем в формулу данные нашего эксперимента и рассчитываем К_д:

.

4. Зададимся значением q=0,10 (десятипроцентным уровнем значимости).

5. Используя табличные данные, выявим критическую область для рассчитанного критерия К_д.

Согласно таблице 2 приложения 3 при n=10 и q=0,15, z_дикс =0,35.

6. Делаем вывод, что К_д < z_дикс.

Ответ. Полученный ряд результатов наблюдений не имеет в своем составе грубых погрешностей даже при q=0,1. Дальнейшей обработке будет подвергаться весь массив данных.

Пример 2. В процессе контроля были получены следующие результаты измерительных наблюдений за одним из показателей качества: 9,47; 9,49; 9,40; 9,61; 9,39; 9,41; 9,43; 9,49; 9,46; 9,42. Используя критерий Романовского выявить наличие промахов.

Решение:

1. Располагаем результаты в вариационный возрастающий ряд: 9,39<9,40<9,41<9,42<9,43<9,46<9,47<9,49<9,49<9,61.

2. Выявляем результат, вызывающий сомнение:

Результат 9,61 вызывает сомнение, так как резко отличается от всех остальных (х_i=9,61).

3. Запишем основную расчетную формулу:

.

При расчете результат х_i=9,61 все принимаем во внимание.

4. Вычисляем среднее арифметическое без учета сомнительного варианта

;

n=10-1=9

=9,39+9,40+9,41+9,42+9,43+9,46+9,47+9,49+9,49=84,96

5. Находим среднеквадратическое отклонение среднего арифметического результата наблюдения по формуле

;

Разность хi –	Квадрат разности
х1- =9,39-9,44=-0,05	0,0025	0,0118
х2- =9,40-9,44=-0,04	0,0016
х3- =9,41-9,44=-0,03	0,0009
х4- =9,42-9,44=-0,02	0,0004
х5- =9,43-9,44=-0,01	0,0001
х6- =9,46-9,44=0,02	0,0004
х7- =9,47-9,44=0,03	0,0009
х8- =9,49-9,44=0,05	0,0025
х9- =9,49-9,44=0,05	0,0025

Определяем число степеней свободы f=n-1=9-1=8

Рассчитываем стандартное отклонение:

;

6. Подставляем полученные расчетные данные в основную формулу (14):

.

7. Находим табличное значение критерия Романовского для n =10 и принятого уровня значимости q=0,1: =2,29.

8. Вывод: рассчитанное значение .

Ответ: Так как сомнительный результат наблюдения равный 9,61 является грубой погрешностью и в дальнейшей обработке полученных данных не используется.

Пример 3. Некоторую физическую величину измерили двумя независимыми способами. По первому способу получили результаты:38.20,38.00,37.66; по второму – 37.70,37.65,37.55. Значимо ли различаются результаты данных измерений?

Решение:

1. По формуле (6) рассчитаем среднее арифметическое значение для каждого способа:

и

2. Рассчитаем дисперсии по формуле (8):

3. Проведем сравнение точности обоих методов, используя F-распределение:

F_эксп =

Полученные значения F_эксп, сопоставляем с табличным (таблица 6, приложения 3) значением F распределения при р=0.95 и числах степеней свободы f ₁ =2 и f ₂ =2.

Так как F _табл= 19.00> F _эксп=12.78, то расхождение между дисперсиями незначимо и, следовательно, способ измерения физической величины одинаковой точности.

С помощью t-критерия оцениваем расхождение между . Среднее взвешенное двух дисперсий и t-критерий рассчитываем по формулам

и , тогда

t _эксп =

Сопоставляем полученное значение t _эксп с табличными t _0.95;4 = 2,776 (при р= 0,95 и f = 3+3-2=4). Так как t _эксп =1.96 < t _0.95;4 = 2,776, то различие между незначимо. Следовательно, все результаты обоих измерений отражают истинное значение физической величины.

Поэтому данные измерения могут быть представлены в виде

;

где – среднее арифметическое из всех n₁+n₂ результатов:

4. Вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое) по формуле (1):

=

Определим среднее квадратическое отклонение S по формуле (9):

Рассчитаем доверительные границы действительного значения результата измерения, исходя из данных наблюдений, полученных обоими способами, по формуле (15). Для расчета необходимое значение t_0,95;5 находим по таблице (см. приложение 3, табл. 1)

Ответ. Результат измерений физической величины, рассчитанный по данным наблюдений полученных двумя способами, записываем следующим образом: 37.79 ±0.26.

Пример 4. При измерении некоторой величины были получены следующие результаты: 1.31, 1.45,1.42,1.32, 1.30. Опорное значение этой величины Х_оп = 1,47.

Определить стандартное отклонение S, точность измерений _0.95 (,%) и сделать вывод о наличии систематической ошибки в использовании данного метода измерения.

Решение:

1. По формуле (6) вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое):

=

2.По формуле (9) вычисляем стандартное отклонение S:

S = ;

3.По формуле (15) рассчитываем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения. Значение коэффициента Стьюдента находим из таблицы (см. приложение 3, табл.1).

4. Покажем доверительный интервал действительного значения величины:

;

5. Точность метода обычно выражают в форме относительной погрешности, которая рассчитывается по формуле (22)

Ответ. Данный метод измерения НКПРП имеет систематическую погрешность, так как опорное значение Х_оп = 1,47 не попадает в доверительный интервал 1,27 1,45. Точность измерения является очень низкой для данного метода.

Пример 5. Определить, существует ли значимое различие между выборочной средней величиной при определении НКПРП пыли обращающейся в производстве, если при отборе проб следующие результаты: 2.10, 2.12, 2.13, 2.15, 2.15 и средней генеральной совокупностью (для n =80) m =2.15 г/м³.

Решение:

1.Среднее арифметическое значение вычисляем по формуле (6):

2.Стандартное отклонение отдельного определения вычисляем по формуле (9):

,

3.Из формулы (15) находим значение величины t:

Из таблицы значений коэффициента Стьюдента (смотри таблицу 1 приложения 3) для f =4 и p =0,95, t_р,f =2,78, что больше рассчитанного из формулы (15) 2,11.

Ответ. Следовательно, средняя величина не отличается значимо от средней m генеральной совокупности.

Пример 6. При определении коэффициента теплопроводности газобетона были получены результаты: 8.0×10^–4 Вт/м^оС и 8.4×10^–4 Вт/м^оС. Чему равна точность изменения (e_р и D) коэффициента теплопроводности? Сколько параллельных измерений необходимо провести для достижения относительной точности 5%? Оправдано ли будет применение этого способа измерения для достижения такой точности?

Решение:

1. По формуле (6) находим среднее арифметическое значение:

2.Стандартное отклонение единичного результата вычисляем по формуле (9):

,

По таблице 1 приложения 3 находим для р =0.95 и f =2-1=1 t_р,f =12.7 и по формуле (15) вычисляем точность метода:

3. Определяем относительную точность измерения по формуле (22):

Если необходимо получить D=5%, то

или

Из формулы (15)

Если принять n =4, то t =2.90. Исходя из данных таблице 1 (см. приложение 3) для р =0.95 и f =4–1=3 t_р,f =3.18, что не обеспечивает точности 5%. Если принять n =5, то t =3.24. По таблице 1 (см. приложение 3) для р =0.95 и f =5–1=4 t_р,f =2.78, что меньше рассчитанного t =3.24. Следовательно, при n =5 величина t =3.24 дает большую вероятность, чем 0.95.

Ответ. Для достижения относительной погрешности 5% необходимо провести 5 измерений. Так как n <8 (n =5), то можно считать, что данный метод вполне оправдан для достижения точности 5%.

Пример 7

Пример построения гистограммы и проверка гипотезы о распределении случайной величины

Даны 98 независимых равноточных измерений некоторой физической величины:

120.13 120.76 119.39 118.88 121.11 121.66 119.58

118.49 119.00 119.18 120.90 120.53 121.92 119.76

121.19 121.35 120.16 119.31 121.25 119.96 120.84

117.17 120.82 119.59 120.57 119.67 119.92 120.51

121.76 121.31 119.61 119.62 120.59 119.00 119.85

119.95 119.43 121.07 121.84 122.21 120.20 119.56

119.37 119.34 120.89 120.06 119.95 121.47 119.65

119.90 119.75 120.50 119.99 119.54 120.87 120.25

119.55 119.01 120.03 120.71 120.10 118.73 120.90

120.31 119.83 121.46 122.21 118.40 119.36 120.86

119.72 119.22 119.91 120.62 120.63 119.56 120.07

121.68 120.80 120.16 119.92 121.03 120.17 119.43

119.85 120.52 120.45 119.57 121.11 120.06 120.02

121.64 119.91 119.42 119.31 121.39 120.06 119.55

Рассчитать:

1. При уровне значимости 0.05 исследовать предложенную выборку на однородность. Исключить все грубые ошибки с вероятностью 1– q. Найти среднее значение и эмпирический стандарт S полученной однородной выборки.

2. Сгруппировать однородную выборку по интервалам, построить гистограмму относительных частот, сформировать гипотезу о виде распределения случайной величины Х.

3. Проверить гистограмму о распределении величины Х по критерию согласия Пирсона, установить вероятность р, с которой высказанная гипотеза не согласуется с истинным распределением. Если р <0.50, то данную гипотезу не отвергать, остановиться на данном виде распределения и перейти к пункту 4. Если р >0.50, то выбрать другой закон распределения и снова применить к нему критерий согласия Пирсона. Если при исследовании гипотез о трех различных распределениях (нормальном, логарифмическом и распределении Вейбулла) вероятность несогласования р >0.50, то выбрать лучшее по вероятности распределения.

4. Найти доверительный интервал для математического ожидания M (X)= m и среднего квадратичного отклонения s(X)=s, если задан уровень значимости q, полученной в пункте 3 при выборе распределения величины Х.

Решение:

1. Исследуем данную выборку на однородность. Для этого все результаты измерений расположим в порядке возрастания. Результат запишем в виде табл. 1.

По условию требуется проверить, не содержит ли данная выборка грубых ошибок на уровне значимости 0.05, то есть из выборки следует исключить те х_i, которые с вероятностью 1– q =0.95.

Найдем критическое значение числа

,

с которым будем сравнивать максимальное отклонение t (x_i). Нанесем на ось все значения из табл. 6.1.

Табл. 6.1. Экспериментальные значения величины Х

I	xi	i	xi	i	xi	i	xi
	117.17 118.40 118.49 118.73 118.88 119.00 119.00 119.01 119.18 119.22 119.31 119.34 119.35 119.36 119.37 119.37 119.39 119.42 119.43 119.43 119.54 119.55 119.55 119.56 119.56		119.57 119.58 119.59 119.61 119.62 119.65 119.72 119.75 119.76 119.83 119.85 119.85 119.90 119.91 119.91 119.92 119.92 119.95 119.95 119.96 119.99 120.02 120.03 120.06 120.06		120.06 120.07 120.10 120.13 120.16 120.16 120.17 120.20 120.25 120.31 120.45 120.50 120.51 120.52 120.53 120.57 120.59 120.62 120.63 120.71 120.76 120.80 120.82 120.84 120.86		120.87 120.89 120.90 120.90 121.03 121.07 121.11 121.11 121.19 121.25 121.31 121.35 121.39 121.46 121.47 121.64 121.66 121.68 121.76 121.84 121.92 122.21 122.21

Рис. 6.1. Распределение случайной величины

Как можно видеть из рис. 6.1, наиболее густо точки расположены в интервале [119, 122]. Значение x ₁=117.17 резко отличается от интервала [119, 122], что может служить косвенным подтверждением того, что величина x ₁ является грубой ошибкой. Остальные значения x_i не вызывают особых подозрений, поэтому мы исследуем дополнительно крайние точки x ₁, x ₂, x ₉₇ и x ₉₈.

Временно отбросив указанные значения, подсчитаем среднее арифметическое значение и эмпирический стандарт:

;

и .

Исследуем сначала x ₁=117.17, применив к нему наш критерий. Оказалось, что . Исходя из приведенного расчета видно, что значение . Следовательно, x ₁=117.17 является грубой ошибкой, и поэтому данное значение должно быть исключено из результатов обработки.

Применим t -критерий к значению x ₂=118.40. Расчет значения t -критерия дает следующую величину . Так как , то включив в выборку x ₂=118.40, пересчитаем с учетом его и .

Получим

;

и .

Вычислим . Таким образом, значения x ₉₇= x ₉₈=121.21 также принадлежат к выборке, поэтому включаем их в выборку и с вероятностью 1– р =0.95 выборка, представленная в табл. 6.1, является однородной.

Для полученной выборки находим

;

и .

2. Сгруппируем данные табл. 6.1 по интервалам с шагом, вычисленным по соотношению

.

Начальная точка равна .

Найдем границы интервалов , включающих все данные табл. 6.1, а также подсчитаем, сколько значений величины Х попадает в каждый интервал, то есть найдем частоты n_i. Результаты запишем в табл. 6.2.

По данным табл. 6.2 построим гистограмму. Для этого отложим на оси х интервалы длиной и начертим гистограмму.

Табл. 6.2. Расчет высоты прямоугольников для построения гистограммы

I	Интервал xi	Число попаданий в i -ый интервал
	118.215 118.585 118.955 119.325 119.695 120.065 120.435 120.805 121.175 121.545 121.915 122.285		0.0206 0.0206 0.0619 0.2062 0.2062 0.0928 0.1237 0.1134 0.0722 0.0515 0.0309	0.0557 0.0557 0.1673 0.5573 0.5573 0.2508 0.3343 0.3065 0.1951 0.1392 0.0835

3. Предположим, что случайная величина распределена по нормальному закону распределения с параметрами и . Гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х проверим по критерию согласия Пирсона.

Результаты вычислений занесем в табл. 6.3.

Для заполнения табл. 6.3 в столбец 2 занесем из табл. 6.2 концы интервалов x_i; затем заполняем столбец 3 по формуле . Далее находим значение функции Лапласа по данным табл. 7 приложения 3, используя линейное интерполирование. Считаем при x ₀= –¥ и x ₁₀= +¥. Теоретическую вероятность находим по формуле (70) и записываем результаты между строк столбца 4. Затем вычисляем и выпишем из табл. 6.2.

Для расчета критерия Пирсона объединим первые и последние два интервала. Используя данные табл. 6.3, рассчитаем критерий согласия Пирсона . Число интервалов К =9. Число параметров, для которых были найдены оценки, r =2. Число степеней свободы f = К – r –1=9–2–1=6. В табл. 4 приложения 3 находим, что 12.6< <14.4. Следовательно, число 12.6 соответствует р =0.95, а число 14.4 соответствует р =0.975, то есть гипотеза о нормальном распределении не согласуется с истинным распределением с вероятностью 0.95–0.975 и мы имеем веские основания для принятия гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Табл. 6.3. Проверка гипотезы о нормальном распределении величины Х

i	xi			pi
	118.215 118.585 118.955 119.325 119.695 120.065 120.435 120.805 121.175 121.545 121.915 122.285	– –1.9247 –1.4891 –1.0536 –0.6180 –0.1825 0.2531 0.6886 1.1242 1.5597 1.9953 +	–0.5000 –0.4729 –0.4320 –0.3545 –0.2317 –0.0724 0.0999 0.2318 0.3857 0.4404 0.4764 0.5000	0.0271 0.0409 0.0775 0.1228 0.1593 0.1723 0.1319 0.1539 0.0547 0.0360 0.0236	2.6287 3.9673 7.5175 11.9116 15.4521 16.7131 12.7943 14.9283 5.3059 3.4920 2.2892

На гистограмме относительных частот (рис. 6.2) максимум сдвинут влево от середины интервала [118.4, 122.2], поэтому здесь вероятнее всего предложить наличие логарифмически нормального распределения или закона Вейбулла, чем нормального закона распределения.

Предположим сначала, что данное распределение подчинено закону Вейбулла и оценим сначала параметры a и b по формулам (67) и (68).

Найдем значение статистической функции F ₉₇(x) для концов интервалов из табл. 6.2. Так, например, значение . Результаты остальных расчетов приведены в табл. 6.4.

Табл. 6.4. Проверка гипотезы о распределении величины Х по закону Вейбулла [2]

i	xi	F 97(x)		pi
	118.215 118.585 118.955 119.325 119.695 120.065 120.435 120.805 121.175 121.545 121.915 122.285	0.0206 0.0412 0.1031 0.3093 0.5155 0.6082 0.7320 0.8454 0.9175 0.9691 1.0000	0.9208 0.8771 0.8120 0.7189 0.5931 0.4379 0.2716 0.1281 0.0394 0.0062 0.0003 3.69·10^–6	0.0437 0.0651 0.0931 0.1258 0.1552 0.1663 0.1435 0.0887 0.0332 0.0059 0.0003	4.2389 6.3147 9.0307 12.2026 15.0932 16.1311 13.9195 8.6039 3.2204 0.5723 0.0291

С помощью табл. 6.4 решим уравнение F ₉₇(t ₁)=0.75 и F ₉₇(t ₂)=0.25. Число 0.75 находится между F ₉₇(120.435)=0.7320 и F ₉₇(120.805)=0.8454.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки с этими координатами: . Предположим, что точка с координатами (t ₁; 0.75) лежит на этой прямой, то есть х = t ₁, у =0.75. Тогда . Отсюда будем иметь .

Аналогично найдем t ₂ из условия, что F ₉₇(t ₂)=0.25:

; ; .

Затем найдем оценки параметров и :

; .

Таким образом, предполагаемая функция плотности вероятности имеет вид

,

.

Проверим, насколько это распределение Вейбулла согласуется с истинным распределением, используя критерий согласия Пирсона. Для расчета критерия Пирсона объединим первый и второй интервалы и восьмой–одиннадцатый интервалы. Результаты вычислений заносим в табл. 6.4: . В табл. 4 приложения 3 находим, что >14.9 (при f = К – r –1=7–2–1=4). Следовательно, число 14.9 соответствует р =0.995, то есть гипотеза о распределении Вейбулла не согласуется с истинным распределением с вероятностью p >0.995 и мы имеем веские основания для отвержения гипотезы о распределении случайной величины по закону Вейбулла.

Выдвинем гипотезу о логарифмически нормальном распределении. Оценим параметры этого распределения по формулам (58) и (59). Находим, что

; ; .

Тогда предполагаемая функция вероятностей имеет вид

; .

Сделаем проверку гипотезы о логарифмически нормальном распределении по критерию согласия Пирсона (табл. 4 приложения 3).

Как можно видеть, значение критерия велико, следовательно, логарифмически нормальное распределение отклоняется.

Табл. 6.5. Проверка гипотезы о логарифмически нормальном распределении величины Х

i	xi			pi
	118.215 118.585 118.955 119.325 119.695 120.065 120.435 120.805 121.175 121.545 121.915 122.285	– –0.9674 –0.7467 –0.5272 –0.3081 –0.0896 0.1281 0.3452 0.5616 0.7774 0.9925 +	–0.5000 –0.3336 –0.2721 –0.2009 –0.1209 –0.0357 0.0510 0.1350 0.2128 0.2815 0.3395 0.5000	0.1664 0.0615 0.0712 0.0800 0.0852 0.0867 0.0840 0.0778 0.0687 0.0580 0.1605	16.1408 5.9655 6.9064 7.7600 8.2644 8.4099 8.1480 7.5466 6.6639 5.6260 15.5685

Исходя из приведенного расчета видно, что наиболее удачно приведенное распределение описывает нормальное распределение величины Х. Таким образом, окончательное уравнение имеет вид

.

4. Поскольку распределение величины Х не является нормальным, но число опытов достаточно велико (n =97>30), мы воспользуемся приближенными формулами (73) и (74).

При подборе распределения величины Х значение р Î[0.95, 0.975]. Исходя из этого, принимаем, что величина q= 0.05. По табл. 7 приложения 3 значение аргумента соответствует значению функции , тогда . Тогда

и

и с вероятностью»0.95 имеем , а также .

Дата добавления: 2015-04-30