Схемы, выполняющие математические операции

Сумматор. На рис.65 изображена схема усилителя на основе ОУ, выполняющая функцию сумматора.

Рис.65. Сумматор на основе ОУ с частотно независимыми элементами.

На основании 1-го закона Кирхгофа для узла 1

или (49)

Т.е., напряжение на выходе усилительной схемы равно напряжениям на входных элементах с весовыми коэффициентами, равными коэффициенту усиления для рассматриваемого входа:

(50).

Т.о. получено выражение вида

. (51)

Необходимо отметить, что из проведенного анализа свойств схем, изображенных на рис. 3 следует вывод, согласно которому напряжение на выходе схемы с идеальным операционным усилителем, у которого не инвертирующий вход заземлен, равно напряжению на сопротивлении отрицательной обратной связи: U₂=I₂×R₂=U_вых.

Дифференциатор. Использование реактивных элементов позволяет реализовать аналоговые операции дифференцирования и интегрирования. Если в схеме на рис.2а входной элементпредставляет собой конденсатор емкостью С, а элемент обратной связи– резистор сопротивлением R, рис.4, то из условия I₁=I₂ следует, что

, откуда , (52)

т.е. выходное напряжение является дифференциалом входного напряжения с весовым коэффициентом RC.

Пример 1. Если RC =1, а входное напряжение изменяется по закону U_вх= U₀sin(wt), то U_вых будет изменяться по закону . Во-первых, очевидно, что синус изменился на косинус благодаря свойству инверсии знака выходного сигнала, если входной сигнал подается на инвертирующий вход. Это соответствует сдвигу фаз входного и выходного сигнала в данном случае p/2. Во-вторых, амплитуда выходного напряжения зависит от частоты входного сигнала, что связано с частотной зависимостью сопротивления конденсатора.

Пример 2. Если на входе рассматриваемой схемы напряжение изменить скачком от 0 до U₀, то на выходе напряжение не будет меняться, и останется равным нулю: . Это связано с тем, что входной конденсатор виртуально заземлен (потенциал инвертирующего входа равен нулю, т.к. неинвертирующий вход заземлен), вследствие чего он заряжается через проводники с бесконечно малым сопротивлением. И на выходе операционного усилителя будет скачок напряжения с бесконечно малой длительностью. Однако такое утверждение справедливо только для идеального ОУ. Реально на выходе ОУ будет проходить переходной процесс связанный с конечной скоростью зарядки конденсатора С, подсоединенного к инвертирующему входу.

Интегратор. В случае, когда к ивертирующему входу подключен резистор, а в цепь обратной отрицательной связи установлен конденсатор, схема с операционным усилителем выполняет функцию интегратора:

, (53)

т.е. выходное напряжение является интегралом от входного напряжения.

Пример 3. Если на входном резисторе напряжение изменить скачком от 0 до U₀, то на выходе ОУ напряжение будет изменяться по закону , т.е. расти пропорционально времени. Это соответствует случаю зарядки конденсатора С постоянным током I_вх=U_вх/R.

Электрические активные фильтры. Электрические фильтры являются одними из основных элементов различных информационных систем. Они находят широкое применение в системах телеметрии и телеуправления, в измерительной и вычислительной технике, в радиотехнической, физической, медицинской и другой аппаратуре. В связи с тенденцией к микроминиатюризации и трудностями построения малогабаритных фильтрующих устройств с применением катушек индуктивности и различных электромеханических резонаторов все большее внимание привлекают активные RC -фильтры. Наибольшее распространение получили линейные активные RC -фильтры, основным методом построения которых является использование различных видов обратных связей.

Как известно электрические фильтры подразделяются на четыре типа по амплитудно-частотной характеристике: фильтры низких частот (ФНЧ), фильтры высоких частот (ФВЧ), полосовые фильтры и селективные фильтры. На рис. 66 представлены принципиальные схемы этих фильтров.

Рис.66. Принципиальные схемы фильтров: а) обобщенная схема; б) ФНЧ;

в) ФВЧ; г) селективный фильтр.

Принцип их работы можно рассмотреть, пользуясь понятиями интегрирующего и дифференцирующего усилителей на ОУ. Фильтр низких частот по сути представляет собой интегратор на ОУ с интегрирующей цепочкой на входе. ФВЧ – дифференцирующую схему на ОУ с дифференцирующей цепочкой на входе.

Легко увидеть, что интегрирование частотно зависимой функции вида Usin(wt) приводит к выражению, в котором частота w входит в знаменатель, что свидетельствует об уменьшении передаточного коэффициента с ростом частоты. При дифференцировании наоборот, частота является множителем гармонического сигнала, и как следствие коэффициент передачи уменьшается в области низких частот.

Селективный или полосовой фильтры представляют собой одновременно и дифференциатор и интегратор на ОУ. Вследствие этого низкие частоты "заваливаются" дифференциатором, а высокие – интегратором. При определенном соотношении величин R и C схемы фильтр будет иметь максимум коэффициента передачи при кокой-то определенной частоте (селективный фильтр) или быть постоянным в диапазоне частот (полосовой фильтр).

Более строгий анализ работы электрических активных фильтров на ОУ и их расчет будет приведен далее.

Принцип виртуального заземления инвертирующего входа позволяет получить выражения для передаточной функции напряжения фильтров. Для обобщенной схемы фильтра рис. 8,а можно записать

. (54)

Очевидно также, что согласно первому закону Кирхгофа

. (55)

Учитывая пренебрежимо малый входной ток, а также, что вследствие того, что потенциал неинвертирующего входа равен нулю, равен нулю и потенциал инвертирующего входа,, запишем

; ; . (56)

При следует равенство . (57)

Из этих равенств получается обобщенная передаточная характеристика

. (58)

В операторной форме передаточная функция ФНЧ, нормированная по частоте имеет вид:

, (59)

где H – положительная величина, определяющая коэффициент усиления в полосе пропускания.

Без нормирования функция имеет вид:

. (60)

Параметр w₀ в ФНЧ и ФВЧ характеризует частоту (частоту среза), на которой коэффициент усиления составляет от максимального, рис.67.

Рис.67. Аплитудно-частотные характеристики фильтров: а) ФНЧ; б) ФВЧ.

Для того, чтобы числитель не был функцией P, оба элемента Y₁ И Y₃ должны быть резисторами. Для того, чтобы получить P² в знаменателе, элемент Y₅ должен быть конденсатором, а также должен быть конденсатором либо элемент Y₂, либо Y₄. Но элемент Y₄ должен быть резистором, так как в противном случае в знаменателе не удалось бы получить член, независимый от P. Итак, для ФНЧ, рис.8,б, элементы схемы должны выбираться следующим образом:

Y₁=G₁, Y₂=PC₂, Y₃=G₃, Y₄=G₄, Y₅=PC₅. (61)

Передаточная функция для этой схемы имеет вид:

. (62)

Знак минус в числителе соответствует инвертированию сигнала. Коэффициенты H и a могут быть определены при сравнении записей передаточных функций (27) и (28).

, , . (63)

Передаточная функция ФВЧ, нормированная по частоте, имеет вид:

, (64)

а без нормирования

. (65)

В этом случае элементы схемы, рис.8,в, в операторной форме должны быть выбраны следующим образом:

Y₁=PC₁; Y₂=G₂; Y₃=PC₃; Y₄=PC₄; Y₅=G₅, (66)

а передаточная функция примет вид:

. (67)

Элементы схемы подбираются как и в предыдущем случае.

Нормированная по частоте передаточная функция селективного усилителя имеет вид:

, (68)

а с частотным параметром w₀ (w₀ – резонансная частота) –

. (69)

Существует несколько вариантов сочетания пяти элементов, с помощью которых можно получить передаточную функцию (27).

Одним из наиболее удобных является следующий выбор элементов схемы, рис.8,г:

Y₁=G₁; Y₂=G₂; Y₃=PC₃; Y₄=PC₄; Y₅=G₅. (70)

При таком выборе элементов развернутая передаточная функция будет иметь вид:

. (71)

Величин элементов определяются решениемь системы нелинейных уравнений.

Для удобства расчетов целесообразно ввести масштабирующий множитель k, позволяющий пропорционально изменять величины элементов для выбора оптимальных значений, соответствующих стандартному ряду.

Для ФНЧ используются следующие формулы:

, , , (72)

, . (73)

Здесь 2pf₀=w₀

Расчетные формулы для элементов ФВЧ:

, , , . (74)

При расчете элементов селективного фильтра задается еще один параметр – добротность Q. Добротность выражает резкость селективного усиления (крутизну боковых ветвей). Из параметров АЧХ добротность – это отношение резонансной частоты к полосе усиления Df на уровне : , рис.68.

Рис.68. Амплитудно-частотная характеристика селективного фильтра

В этом случае для расчета элементов селективного фильтра применяют следующие формулы:

, , , ,

, , (75)

где А₀ – коэффициент усиления на резонансной частоте.

Из приведенных формул видно, что наиболее удобно без влияния на параметры других элементов настраивать селективный фильтр с помощью резистора R2.

Не рекомендуется проектировать однокаскадные селективные фильтры с Q >10, т.к. это может привести к самовозбуждению схемы и неустойчивой ее работе.

В данном разделе рассмотрены наиболее простые по конструктиву фильтры. Показанная схема составления элементной структуры фильтров позволяет понять принципиальный подход к их проектированию с любой степенью сложности.

Компараторы (схемы сравнения). Компараторы занимают промежуточное положение между функциональными узлами аналогового и цифрового типа и являются простейшими аналогово-цифровыми преобразователями. Напряжение на их выходе устанавливается на уровне логического нуля или логической единицы. Точность сравнения компаратора характеризуется напряжением, на которое надо превысить уровень опорного, чтобы выходное достигло уровня порога срабатывания логической схемы.

Быстродействие компаратора принято характеризовать временем восстановления t_в. Это промежуток времени от начала сравнения до момента, когда выходное напряжение достигнет порога срабатывания логической схемы. При использовании стандартной методики измерения, рис.69, когда на один вход подается напряжение перегрузки, равное 100 мВ, а на другой перепад напряжения той же полярности, но большей амплитуды, время t_в отсчитывается с момента, величины перегрузки и импульсного напряжения сравниваются. Разница между амплитудами перепада напряжения и сигнала перегрузки называется напря­жением восстановления. Обычно время восстановления приводится для напряжения восстановления, равного 5 мВ.

Рис. 69. Диаграмма переходного процесса в компараторе

Время восстановления ком­параторов можно разбить на две составляющие: время задержки и время нарастания до порога срабатывания логической схе­мы. Используя для построения компаратора обычные ОУ без ОС, независимо от их быстро­действия трудно получить время восстановления меньше 1 мкс, причем основной его составляющей будет время задержки. Объяс­няется это тем, что в режиме перегрузки, нормальном для компа­ратора, как правило, насыщаются транзисторы усилительных каскадов ОУ. Поэтому после снятия перегрузки требуется значи­тельное время для рассасывания накопленного в базах транзисто­ров заряда. Это является основной причиной разработки спе­циализированных интегральных компараторов напряжения с вре­менем восстановления менее 100 нс.

Однако при сравнении сигналов с высокой точностью (десятки микровольт) и требовании минимальной потребляемой мощности использование ОУ оказывается часто предпочтительнее. В этом слу­чае время восстановления будет существенно зависеть от полосы пропускания ОУ.

Однопороговые компараторы. Реакция компаратора на превы­шение входным сигналом заданного уровня называется амплитуд­ной дискриминацией или детектированием уровня. Схемы однопороговых компараторов и их переходные характеристики приведены на рис.70.

Рис.70. Однопороговые компараторы на ОУ

При U_ВХ>U_ПОР напряжение U_ВЫХ»0 (предполагается, что напряжение смеще­ния нуля скомпенсировано), стабилитрон и диод закрыты, а ОС разомкнута. Если входной сигнал изменится на несколько микро­вольт в ту или иную сторону, то изменение выходного напряжения, составляющее единицы вольт благодаря большому коэффициенту усиления ОУ, прекратится как только откроется диод и стабилит­рон и коэффициент передачи по цепи ОС станет равен единице. Если

U_ВХ > U_ПОР, то U_ВЫХ=-U_Д и при U_ВХ<U_ПОР U_ВЫХ=U_СТ. (76)

Устранение влияния токов смещения и напряжения смещения. При минимиза­ции напряжений ошибки по постоянному току в выходном напря­жении необходимо придерживаться следующего порядка:

1. Выбирается резистор компенсации токов смещения. При этом сопротивление постоянному току между неинвертирующим входом и землей должно быть равно сопротивлению постоянному току между инвертирующим входом и землей.

2. В цепь балансировки нуля ОУ включается переменный резистор номиналом 10-15 кОм. Схемы включения балансировочного резистора показаны на рис. 71.

Рис.71. Варианты схем компенсации напряжения смещения

3. Входные напряжения источников сигналов устанавливаются на 0. Нельзя применять заземление входов, так как это нарушит режим согласования внутренних сопротивлений источников и ОУ.

4. К выходу ОУ подключается нагрузка.

5. После включения напряжения питания регулировкой балансировочного резистора необходимо добиться нулевого выходного напряжения.

Частотная характеристика ОУ. Многие типы операци­онных усилителей общего и специального назначения имеют внут­реннюю (встроенную) коррекцию, т. е. изготовителями в схему та­ких ОУ включен конденсатор малой емкости, обычно 30 пФ. Такой конденсатор внутренней частотной коррекции предотвращает гене­рацию ОУ на высоких частотах. Это происходит за счет уменьше­ния усиления ОУ с ростом частоты. Если бы коррекция отсутство­вала, то коэффициент усиления и сдвиг сигнала по фазе были бы достаточно велики на некоторой высокой частоте, чтобы любой сигнал на выходе, будучи подан обратно на вход, вызывал гене­рацию.

Реактивное сопротивление конденсатора с ростом частоты падает: . Вследствие этого при увеличении частоты входного сигнала возрастает коэффициент отрицательной обратной связи по переменному напряжению, а коэффициент усиления снижается. Интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз, называется декадой. Изготовители представляют частотную зависимость усиления ОУ без обратной связи в виде АЧХ без ОС. Эта характеристика называется также малосигнальной.

Рис.72. Амплитудно-частотные характеристики ОУ без обратной связи (а) и с отрицательной обратной связью (б)

Типичный вид АЧХ ОУ с внутренней коррекцией представлена на рис.72.

Точка А на АЧХ соответствует спаду коэффициента усиления в раз.

Об измене­нии усиления или частоты в 10 раз обычно принято говорить как об изменении на декаду. Увеличение частоты на одну декаду приводит к уменьшению коэффициента усиления в 10 раз, что соответствует 20 дБ (дБ – децибел, относительная величина в логарифмическом отображении: 20 lg(Y2/Y1). Cпад в 6 дБ/октава («октава» означает изменение частоты в 2 ра­за). Следовательно, всякий раз, когда частота удваивается, уси­ление по напряжению уменьшается на 6 дБ.

Точка В на рис. 72 обо­значает полосу единичного усиления ОУ на малом сигнале. Она расположена на частоте, где коэффициент усиления по напряже­нию без ОС равен 1. В паспортах на некоторые ОУ не приводится значение полосы единичного усиления. Взамен в них указывается другой параметр, называемый временем нарастания переходного процесса (при единичном усилении). Типичное значение этого параметра – десятые доли микросекунды. Полоса пропускания f¹ вычисляется по времени нараста­ния как

. (77)

Время нарастания t_Н определяется как время, необходимое для на­растания выходного напряжения с 10 до 90% от своего конечного значения.

В идеальном случае коэффициент усиления усилителя с ОС, во-первых, определялся бы только сопротивлениями резисторов R1 и R2; во-вторых, он имел бы одну и ту же величину на всех частотах и, в-третьих, не зави­сел бы от параметров конкретного ОУ. Однако, как было показа­но, коэффициент усиления ОУ без ОС зависит от ча­стоты. Следовательно, любая схема усилителя, содержащая ОУ, будет иметь коэффициент усиления с ОС, зависящий в некотором диапазоне частот от коэффициента усиления ОУ без ОС. Ко­эффициент усиления операционного усилителя называется коэф­фициентом усиления без обратной связи и обозначается буквой К. Коэффициент усиления усилителя (т. е. ОУ с цепями обратной связи) называется коэффициентом усиления с ОС Ку.

Диапазон рабо­чих частот для любого усилителя (с ОС или без нее) определяется предельными верхней f_В и нижней f_Н частотами. На этих частотах коэффициент усиления по напряжению уменьшается до 0,707.мак­симального значения, которое он имеет в середине полезного диа­пазона частот. Выражая в децибелах, можно сказать, что на ча­стотах f_В и f_Н усиление падает на 3 дБ.

Полоса пропускания на малом сигнале есть разность между f_В и f_Н. Частота f_Н мала по сравнению с f_В, а у усилителей постоян­ного тока она равна 0. Следовательно, полоса пропускания на ма­лом сигнале приблизительно равна верхней предельной частоте f_В.. Полоса пропускания усилителя на малом сигнале определяется как полосой единичного усиления f¹, так и коэффи­циентом усиления с K_У Она связана с ними простым соотно­шением:

. (78)

Соотношение (72) показывает, что коэффици­ент усиления на малом сигнале и полоса пропускания связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью. Очевидно, что произведение коэффициента усиления с ОС на полосу пропу­скания на малом сигнале всегда равно полосе единичного усиле­ния.

Скорость нарастания ОУ говорит о том, как быстро может изменяться выходное напря­жение. У операционного усилителя общего назначения максимальная скорость нарастания около 0,5 В/мкс. Это означает, что напряжение на выходе может изме­няться за 1 мкс максимум на 0,5 В. Скорость нарастания зависит от многих факторов: коэффициента усиления усилителя, наличия и величины емкости корректирующих конденсаторов и даже от то­го, в каком направлении (положительном или отрицательном) из­меняется выходное напряжение. Наихудший случай или наимень­шая скорость нарастания имеет место при единичном усилении. Поэтому скорость нарастания указывают в паспорте для К_У =1.

В самом ОУ или вне его всегда имеется по меньшей мере один конденсатор, необходимый для предотвращения генерации. К это­му конденсатору подключается некоторая часть схемы ОУ; как и всякая цепь, она способна отдать ток, максимальная величина ко­торого ограничена конструкцией ОУ. Отношение этого максималь­ного тока и емкости корректирующего конденсатора С и есть максимальная скорость нарастания, что следует из выражения:

. (79)

Сделав перестановку переменных получим:

. (80)

Из этого уравнения следует, что для получения большей ско­рости нарастания требуется ОУ либо способный выдать большой ток корректирующего конденсатора, либо требующий меньшую емкость коррекции.

Операци­онные усилители с внутренней частотной коррекцией сохраняют устойчивость независимо от частоты сигнала. Они не входят в состояние генерации ни самопроизволь­но, ни под действием сигналов. Однако за эту устойчивость при­водится расплачиваться тем, что такие ОУ имеют ограниченные по­лосу пропускания на малых сигналах, скорость нарастания и по­ниженную полосу пропускания на полной мощности. Операцион­ные усилители с внутренней коррекцией хороши в качестве усили­телей низкой частоты, но плохо работают на высоких частотах.

Чтобы получить больший коэффициент усиления на более высоких частотах, мы должны удалить конденсатор внут­ренней коррекции. Полученная при этом структура ОУ имеет бо­лее высокую скорость и большую полосу пропускания на полной мощности. Однако эти улучшения будут сведены на нет тем, что ОУ будет входить в генерацию. Как и везде, здесь приходится вы­бирать: частотная стабильность или большие полоса пропускания и скорость нарастания.

Чтобы сделать возможным такой выбор, изготовители ОУ вы­водят из них от 1 до 3 выводов частотной коррекции. Эти зажимы позволяют пользователю выбрать наилучшую из возможных ком­бинаций стабильности и полосы пропускания. Делается это под­ключением к выводам коррекции внешних (навесных) конденса­торов. Операционный усилитель такого типа с гибким примене­нием называется ОУ с внешней частотной коррекцией.

Дата добавления: 2015-05-06