Формула Тейлора. Формула Маклорена

Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

теорема Тейлора.

Пусть функция f (x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+ 1. Тогда между точками a и x  a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f ^{(n+ 1)}(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x  a более высокого порядка, чем (x-a) ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_{n+ 1}(x) = o ((x-a) ⁿ) при x  a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_{n+ 1} = o (xⁿ) при x  0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

29. признак монотонности дифференцируемой функции:

Промежутки монотонности ф-ции совпадают с промежутками постоянного знака её производной

30. определение локального экстремума функции одной переменной:

Точка x₀ называется точкой локального max [min] ф-ции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство

Локальный max и min объединяются общим названием локальны экстремум.

31. необходимое условие локального экстремума функции одной переменной:

Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция f(x) имела в точке x₀ локальный экстремум необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство . Если при переходе через точку х0 меняет знак с + на – (с – на +), то х0 – это локальный максимум (минимум).

.

32. точка перегиба функции:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости.

33. необходимое условие точки перегиба:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости (слева и справа от х0 знаки второй производной различны)

34. определение асимптот графика функций:

Асимптота графика функций y=f(x) - это прямая, расстояние до которой от точки (x,y) графика функций y=f(x) стремится к нулю, если хотя бы одна из координат (x,y) стремится к бесконечности. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

35. определение первообразной для функций y=f(x) на промежутке X:

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F`(x)= f(x)для всех x принадлежащих (a,b).

36. определение неопределенного интеграла:

Совокупность всех первообразных функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается («интеграл эф от икс дэ икс»).

37. свойства неопределенного интеграла:

38.Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Если интеграл нельзя найти непосредственно, то в некоторых случаях можно применить метод замены переменной, положив х=ф(t), где ф(t)- непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Справедливая формула замены переменной:

39.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

40.Определение определенного интеграла Римана.

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку[a;b] и обозначают следующим образом:

41. Достаточное условие интегрируемости.

Функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b].

42. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)

43.Свойства определенного интеграла.

1) . 2)

_{3) 4)} ,для любых a,b,c. 5)Если f(x)≤g(x) отрезке [a,b], то 6)Если на отрезки [a,b] выполняется неравенства ₍ оценка интеграла). 7)Теорема о среднем. Для непрерывной на отрезке[a,b] функция y=f(x) найдется точка С принадлежащая [a,b],что _.

44. Формула Ньютона-Лейбница.

Для нахождения определенного интеграла для функции f(x), интегрируемой на отрезке[a,b ]: , гдеF(x)- любая первообразная для функции f(x) на[a,b].

45.Формула замены переменной в определенном интеграле.

Пусть в определенном интеграле _с непрерывной подынтегральной функцией f(x) производят замену переменной x= (t), при чем функция (t) непрерывно дифференцируема на отрезке [ ] и тогда справедливо равенство (t)dt.

46.Формула интегрирование по частям для определенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x)-две непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b]. Тогда выполняется формула интегрирования по частям _│

47. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.

Если существует конечный предел _, тоэтот предел называется несобственным интегралом с бесконечно верхним пределом пределом от функции f(x)и обозначается _.

48.Определение несобственного интеграла с бесконечно нижним пределом.

Еслисуществует конечныйпредел _, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечно нижним пределом от функции f(x)_и обозначается _.

49.Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.

Если функция f(x) определена при , интегрируема на любом отрезке и не ограничена слева от точки b, то по определению полагают Аналогично, если функция f(x) не ограничена справа от точки а, то . Наконец, если функция в окрестности внутренней точки с отрезка [a,b]не ограничена, то по определению _.

50. Расстояние в Rⁿ. Свойства расстояния.

В пространстве Rⁿ, где n>3, о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в Rⁿ не имеют непосредственного геометрического истолкования. Расстояние определяется формулой:

ρ (p,q)= │p-q│=√(x1’- x1”)²+…+(xⁿ’-xⁿ”)²

, где p=(x1’, x2’, …, xⁿ’) и q=(x1”, x2”, …, xⁿ”) – две произвольные точки из Rⁿ.

Свойства:

1) ρ (p,q)>0, елси p ≠ q, и ρ (p,p)=0;

2) ρ (p,q)= ρ (q,p);

3) ρ (p,q)+ ρ (q,r)>= ρ (p,r), каковы бы ни были точки p,q и r. (свойство треугольника).

51. Окрестность точки в Rⁿ.

Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:

{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.

Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют

ε–окрестностью точки pₒ.

Внутренние и граничные точки множества:

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:

-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

ε–окрестностью;

-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;

-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.

52. Открытые и замкнутые множества.

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки.

53. Изолированные и предельные точки множества.

Пусть X - множество в Rⁿ. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

ε-окрестности точки p₀ имеются точки множества X, отличные от p₀.

При этом сама точка p₀ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p₀ Î X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует

ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p₀, нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной

для Х.

54. Ограниченные множества.

Множество X Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Нетрудно показать, что ограниченность множества Х означает, что существует такое число C>0, что координаты любой точки p=(x₁,x₂,…,x_n) из Х по модулю не превосходят С: |x₁| .

55. Сходимость последовательности точек в Rⁿ, ее эквивалентность покоординатной сходимости.

Пусть – последовательность точек в Rⁿ. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке p0, если числовая последовательность имеет предел 0.

Пусть p₁=(x₁,y₁), p₂=(x₂,y₂),…- последовательность точек в . Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке p₀=(x₀,y₀), если числовая последовательность x₁,x₂,… сходится к числу x₀, а числовая последовательность y₁,y₂,… - к числу y₀.

56. Функция нескольких переменных.

Числовая ф-ция n переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество Х пространства Rⁿ, n>1В этом случае значение аргумента х представляет собой точку (х₁,х₂,..х_n).

57. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.

Линией уровня функции называют линию f(x,y)=C на координатной плоскости, в точках которой функция f принимает постоянное значение C.

При n>2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня. Множество уровня имеет уравнение f( и истолковывается как “ поверхность” в

58. Предел функции нескольких переменных.

Пусть на множестве X Rⁿ задана функция f(p) и пусть p₀ – предельная точка для Х. Число a называется пределом функции f в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности , где все p_n p₀, соответствующая числовая последовательность сходится к числу а.

Запись: , или в координатной форме:

59. Непрерывность функции нескольких переменных.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной

в точке р₀ Î X, если , или же, если p₀ – изолированная точка множества Х.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

60. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то она ограничена на этом множестве.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то существует точка p₀ Î X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q₀ Î X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х.

61. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

z’x, dz/dx, f’x(x₀,y₀) – производная по x;

z’y, dz/dy, f’y(x₀,y₀) – производная по y.

62.Дифференцируемость функции нескольких переменных Ф-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x₀,y₀), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f’_x(x₀,y₀)∆x+ f’_y(x₀,y₀)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)²+∆y²)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x₀,y₀)

63. Дифференциал функции нескольких переменных. Полный дифференциал ф-циивыполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y

64. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных. Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x₀,y₀), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке

65. Непрерывность дифференцируемой функции. Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке.

66. Однородные функции. Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^α z(x;y).

Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).

67. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера:

f’x(x, y)x+f’y(x, y)y=λf(x,y)

68.Производная сложной функции. Сложной функцией называется такая функция аргумент которой представляет собой ещё одну функцию.

Правило вычисления производной сложной функции: Производная сложной функции равна произведению производной основной функции на производную вспомогательной

69..Производная по направлению.

Производной ф-ции f(x,y) в точке (x₀,y_o) по направлению ℮ называется предел

70. Градиент. Свойства градиента Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным, взятым в точке M(x,y).

Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

│Gradf(M)│=δf(M)/δe

Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRⁿ, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)

Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М

Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М

71. Частные производные высших порядков. Частные производные от функций f’_x(x,y) и f’_y(x,y) называют частными производными второго порядка от ф-цииf(x,y).Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка от ф-ции. Частные производные второго порядка z’’_xyиz’’_yxназывают смешанными частными производными.

Дата добавления: 2015-03-29