Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных

Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция f(x₁,..., x_m) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М₀, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М₀ равны нулю:

Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x₁,..., x_m), которые являются непрерывными в т. М₀. Если в этой точке второй дифференциал d² f(M₀) является знакоопределенной квадратичной формой от dx₁,..., dx_m, то в т. М₀ функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d² f(M₀) отрицательно определена, и локальный минимум, если d² f(M₀) положительно определена), если же d² f(M₀) знакопеременна, то в т. М₀ экстремума нет.

Дата добавления: 2015-03-29