Медиана

Мода

Структурные средние

Правило мажорантности средних

С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина:

Наряду с рассмотренными выше средними в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние – мода, медиана, а также квантили, которые делят ряд распределения на равные части (квартили, децили, перцентили и т.д.).

Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения.

Для дискретных рядов – это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах необходимо определить, прежде всего, интервал, в котором находится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:

где, – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

m_Mo – частота (вес) интервала, предшествующего модальному,

m_Mo-1 – частота модального интервала,

m_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Таким образом, мода – это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле моды вместо частот m_k-1, m_k, m_k+1 следует использовать плотности распределения y_k-1, y_k, y_k+1.

В интервальном ряду моду можно найти графически. Для этого на гистограмме этого ряда выбирают самый высокий прямоугольник, который и является модальным.

Далее правую верхнюю вершину прямоугольника, предшествующего модальному (частота f_Mо-1), соединяют с правой верхней вершиной модального прямоугольника (частота f_Mо), а левую верхнюю вершину этого прямоугольника – с левой верхней вершиной прямоугольника, следующего за модальным (частота f_Mо+1).

Из точки пересечения линий опускают перпендикуляр на горизонтальную ось. Основание перпендикуляра покажет значение моды Мо. Точность определения моды графическим способом зависит от масштаба графика.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщенного показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической.

Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, число делится на два. При четном числе единиц в ряду будет две средних единицы, и по всем правилам медиана должна определяться как средняя из значений этих двух единиц. Однако практически при четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер которой определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы по накопленным частотам (частостям) отыскивается медиальный интервал, а затем при помощи формулы определяется значение самой медианы:

где

– нижняя граница медианного интервала;

h_k – длина медианного интервала;

m_k – частота медианного интервала;

F_k-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Медиану можно также определить и графически. Для этого строится кумулята и из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси х до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведённой ординате (перпендикуляру), и будет медианой.

Дата добавления: 2015-03-31