Практическая работа №14

Пример

Теоретический материал

Общая схема построения графиков функций

1. Найдите область определения функции.

2. Выясните, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найдите точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найдите асимптоты графика функции.

5. Найдите промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.

Построить график функции .

Решение:

1. Функция определена на всей числовой оси, то есть .

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим . Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: . Далее, имеем Точки и делят область определения функции на три промежутка: , и . В промежутках и , то есть функция возрастает, а в промежутке , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, , .

6. Найдем вторую производную: ; , . Точка делит область определения функция на два промежутка и . В первом из них , а во втором , то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба .

7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1).

Задания для практической работы

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение возрастания и убывания функции.

2. Дайте определение экстремума функции.

3. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

4. Сформулируйте определение асимптоты. Перечислите основные виды асимптот.

5. Сформулируйте общую схему исследования функции для построения графика.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Дата добавления: 2015-03-31