Тема № 2 Физические основы механики.

2.1 Механика материальной точки

В разделе кинематика рассматриваются физические величины, необходимые для описания механического движения. Под механическим движением понимают перемещение одних тел относительно других. Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, называется телом отсчёта. Система отсчёта состоит из тела отсчёта и связанных с ним системы координат и прибора для измерения времени (часов). Вектор, проведённый из начала координат в данную точку, называют радиусом-вектором этой точки. Проекции радиуса-вектора на координатные оси называют координатами этой точки. Таким образом

r = x i + y j + z k, где i, j и k – единичные векторы координатных осей.

Материальной точкой в физике называют тело, имеющее массу, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки, что существенно упрощает рассмотрение задач механики. Линия, вдоль которой двигается при своём движении тело (материальная точка) называется траекторией. Длина траектории между начальным и конечным положениями тела называется путём, а вектор, проведённый из начального положения в конечное, называется перемещением. Перемещение равно разности радиусов-векторов конечного и начального положения материальной точки, т.е. Δ r = r₂ – r₁.

Отношение достаточно малого перемещения на участке траектории, включающем данную точку, к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, называется скоростью тела в данной точке. Перемещение считается достаточно малым, если на этом участке движение можно считать равномерным и прямолинейным. При равномерном и прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Скорость можно также определить как производную радиуса-вектора по времени v = d r/ dt. Производные по времени, которые часто встречаются в физике, принято обозначать точкой над соответствующей буквой, например, v = Производную скорости по времени называют ускорением a = Последнее соотношение может быть проинтегрировано, например при равноускоренном движении скорость и радиус-вектор изменяются по формулам:

v = v₀ + a t; r = r₀ + v₀ t + a t²/2,

где v₀ и r₀ – начальные скорость и координата точки (при t = 0).

В основе динамики материальной точки лежат законы Ньютона:

Закон 1. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон 3 Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – воздействие двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

В качестве первого закона Ньютон принял закон инерции Галилея. Системы отсчёта, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными. Строго говоря, инерциальных систем отсчёта в природе не существует, они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга, тогда систему отсчёта можно считать практически инерциальной.

Сила в физике количественно характеризует взаимодействие тел и вызывает изменение.скоростей точек тела или его деформацию. В природе существует четыре вида взаимодействий: гравитационное, электромагнитное,.сильное и слабое. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Основными силами в механике, действующими в инерциальных системах отсчёта, являются гравитационные силы (закон тяготения Ньютона), силы упругости (закон Гука) и силы трения.

По закону тяготения Ньютона любые две частички материи (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.

F₁₂ = G m₁ m₂ / r₁₂². (2.1)

где G=6,67 10^-11 Н м² кг^-2 – гравитационная постоянная.Значение гравитационной постоянной впервые было определено Г.Кавендишем в 1798 г. Если взаимодействующие тела нельзя считать материальными точками, то можно воспользоваться принципом суперпозиции, согласно которому гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Пользуясь принципом суперпозиции можно доказать, что формулу (2.1) можно применять в случае, если одно или оба тела являются шарами со сферически симметричным распределением вещества, в этом случае под r₁₂ следует понимать расстояние между центрами шаров.

При деформации твёрдого тела в нём возникают силы упругости. Деформации бывают упругими и пластичными. Деформация называется упругой, если после прекращения действия силы размеры и форма тела восстанавливаются. В 1660 г. Р. Гук обнаружил, что при упругом растяжении и сжатии стержня длиной l и площадью поперечного сечения S удлинение стержня Δl пропорционально растягивающей силе F - F/S = E Δl/l, где E называют модулем Юнга.Закон Гука можно представить в виде σ = E ε, где σ = F/S –нормальное напряжение в поперечном сечении, а ε = Δl/l – относительное удлинение стержня.

Рассмотрим кратко силы трения, которые могут действовать между соприкасающимися телами как при их относительном движении, так и при их относительном покое. Трение, возникающее между поверхностями двух соприкасающихся твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки (смазки) называется сухим. Такое трение возникает не только при относительном движении тел, но и при всякой попытке вызвать движение. В последнем случае трение называется трением покоя. В зависимости от вида относительного движения различают силу трения скольжения и силу трения качения. Как экспериментально установил Кулон, сила сухого трения F_тр не зависит от площади, вдоль которой тела соприкасаются, и пропорциональна силе нормального давления F_д. Поэтому можно записать

F_тр = μ F_д.

Постоянная μ называется коэффициентом трения и зависит от природы и состояния трущихся поверхностей. Во многих случаях силы трения оказываются полезными,- они приводят в движение автомобили и поезда, помогают человеку передвигаться по поверхности Земли и т.д.

Однако сплошь и рядом силы трения являются вредными и с ними приходится бороться, для этой цели используется смазка. Однако более эффективна замена трения скольжения трением качения (шарикоподшипники), т.к. коэффициент трения при качении значительно меньше, чем при скольжении.

Рассмотрим систему двух материальных точек, которая настолько удалена от всех остальных тел, что они практически не оказывают никакого действия на рассматриваемую систему. Тела такой изолированной или замкнутой системы могут взаимодействовать только между собой. При взаимодействии точек их скорости изменяются, при этом, как поакывают результаты многочисленных опытов, приращения скоростей материальных точек связаны между собой соотношением

m₁ Δ v ₁ = ─ m₂ Δ v ₂, (2.2)

где коэффициенты m₁ и m₂ постоянны и имеют одинаковые знаки. Они называются массами материальных точек 1 и 2. Если условится считать массу какого-либо определённого тела равной единице массы (например в системе СИ 1 кг), то массы всех остальных тел определятся однозначно. Такое тело называется эталоном массы, а а масса произвольного тела численно равна отношению модуля ускорения эталона массы к модулю ускорения данного тела при их взаимодействии в изолированной системе.

Придадим соотношению (2.2) другую форму. Пусть v₁ и v₂ – скорости тел до взаимодействия, а v₁ ^´ и v ₂^´ - после взаимодействия, то

m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v₁^´ + m₂ v ₂^´ . (2.3)

Назовём импульсом или количеством движения материальной точки вектор, равный произведению массы точки на её скорость:

p = m v (2.4)

Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовём векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит. Как показывает опыт, соотношение (2.3) можно распространить на изолированные системы,

состоящие из любого числа материальных точек. Таким образом импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, т.е. остаётся постоянным во времени, каково бы ни было взаимодействие между ними. Этот закон называется законом сохранения импульса.

Второй закон Ньютона можно сформулировать, используя понятие импульса, следующим образом: в инерциальной системе отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе

= F (2.5)

Если рассмотреть систему материальных точек, то, складывая векторно соотношеня (2.5) для отдельных точек, для суммарного импульса получаем

= F^(е), (2.6)

где F^(е) – геометрическая сумма всех внешних сил, т.к. сумма всех внутренних сил равна нулю по третьему закону Ньютона.

Если сумма внешних сил в системе материальных точек F^(е) равна нулю, то система называется замкнутой, а из формулы (2.6) следует, что количество движения замкнутой системы материальных точек сохраняется.

Важное место в механике занимают понятия работы и энергии. Работа силы F на перемещении d r равна скалярному произведению силы F на перемещение d r:

d А = (F d r) (2.7)

Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж), джоуль есть работа силы в один ньютон

на перемещении в один метр при условии, направление силы совпадает с направлением перемещения.

Работа, отнесённая ко времени, т.е. величина N = dА/dt называется мощностью. Её единицей в системе СИ является ватт (Вт)

Подставим в формулу (2.7) F = d p /dt и d r = v dt, тогда

dА = (v d p) = m (v d v).

Дифференцируя теперь обе части соотношения v² = v², получим (v d v) = v dv.

При перемещении тела из положения 1 в положение 2 совершается работа

А₁₂ = m v₂²/2 ─ mv₁²/2.

Величина К = mv²/2 называется кинетической энергией материальной точки. С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде:

А₁₂ = К₂ ─ К₂. (2.8)

Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Этот результат называют теоремой о кинетической энергии.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые её можно мысленно разделить.

Все силы в механике принято разделять на консервативные (потенциальные) и неконсервативные. Работа консервативной силы не зависит от пути перехода системы из начального положения в конечное. Такими силами в механике являются гравитационные силы и силы упругости. Для консервативных(потенциальных) сил вводится понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы (U) – физическая величина, убыль которой равна работе консервативных сил, совершаемой при переходе системы из начального состояния в конечное:

А_12к = U₁ - U₂ (2.9)

Сумма кинетической и потенциальной энергий E = К + U называется полной механической энергией системы. Если в системе действуют только консервативные силы, как это следует из формул (2.9) и (2.8)

К₁ + U₁ = К₂ + U₂.

В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остаётся неизменной. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

2.2 Динамика твёрдого тела.

Твёрдым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике под материальными точками понимают не атомы и молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые можно мысленно разделить механическую систему.

Центром масс системы материальных точек называется такая воображаемая точка, радиус-вектор которой R _С выражается через радиусы-векторы отдельных точек по формуле

R _С = Σ m_ir_i / m, (2.10)

где m = Σm_i ─ общая масса всей системы.

Если продифференцировать выражение (2.11) по времени и умножить на m, то получится

m v_С = Σ m_i v _i.

Подставим это выражение во второй закон Ньютона (2.6):

m _С = F^(e)

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.

Важные законы механики связаны с понятиями момента силы и момента импульса. Для введения определений этих величи мы будем использовать математическую операцию векторного произведения векторов. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = [ a b ], модуль которого равен c = a b sin α, где α – угол вежду векторами a и b, а напрвление веторного произведения определяется по правилу буравчика: если вращать рукоятку буравчика от первого вектора a ко второму b по кратчайшему пути, то буравчик будет перемещаться в направлении c.

Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиуса- вектора r, проведённого из точки О в точку приложения силы, на силу F:

М = [ r F ] (2.11)

Моментом М нескольких сил относительно точки О называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно точки О. Так называется векторное произведение

L = [ r p ] (2.12)

Для системы материальных точек моментом импульса относительно некоторого начала О называется сумма моментов этих точек относительно того же начала.

Дифференцируя (2.12) по времени, получим = [ p ] + [ r ]. Но при неподвижном начале О импульс частицы коллинеарен с её скоростью, кроме того, по второму закону Ньютона = F. В результате имеем

= M (2.13)

Это уравнение называют уравнением моментов для одной материальной точки. Для системы материальных точек запишем уравнение (2.13) для каждой материальной точки, затем сложим все эти уравнения. При таком сложении моменты внутренних сил исключаются и в результате получается уравнение моментов для системы материальных точек:

= M _внеш, (2.14) \

т.е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала О. Из этого уравнения следует, что если сумма моментов внешних сил относительно неподвижного начала равна нулю, то момент импульса относительно того же начала остаётся постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса.

Если система состоит из одной материальной точки, то момент импульса имеет простой геометрический смысл. Момент импульса материальной точки по определению равен

L = m[ r v ], с другой стороны радиус-вектор за время dt описывает площадь d S = 1/2 [ r v ] dt

Производная d S /dt называется секториальной скоростью, в рассматриваемом случае

= L /(2m).

В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей, - за равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по размеру площади.

Применим уравнение моментов к рассмотрению вращательного движения твёрдого тела. Для рассмотрения вращательного движения тела удобно использовать угловую скорость ω. Это понятие вводится при движении материальной точки по окружности, положение точки на окружности можно задать углом α, который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением. Производная этого угла по времени ω = dα/dt называется угловой скоростью ω
Направим ось координат вдоль оси вращения тела, тогда в проекциях на эту ось из (2.14) получаем скалярное уравнение dL/dt = M_внеш, которое называют у равнением моментов относитено неподвижной оси. Если материальная точка вращается с угловой скоростью ω по окружности радиуса r, то момент её импульса равен L = mvr = mr² ω. Для системы материальных точек L = ω Σ m_ir_i², где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси:

I = Σ m_i r_i² (2.15)

Тогда уравнение моментов относительно оси вращения принимает вид

I = М,

где М- момент внешних сил относительно оси вращения. Это основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением по формуле (2.15), если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

I = ∫ r² dm, (2.16)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование должно производится по всей массе тела. Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в случае тел правильной геометрической формы, для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить используя теорему Гюйгенса-Штейнера.

dm Найдём связь между моментами инерции тела относи-

тельно двух различных параллельных осей. Предполагается,

r_O a r_A что оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересека-

О А ют её в точках О и А. Ради краткости будем называть сами

Рис. 2.1 оси также О и А. Разобьём мысленно тело на элементарные

массы dm. Радиусы-векторы одной из них, проведённые от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r _О и r _А соответственно. Тогда r _А = r _О ─ а, где а – означает вектор, проведённый из О в А. Следовательно,

r_А² = r_О² + а² ─ 2(аr)

и по формуле (2.16) получаем

∫ r_A² dm = ∫ r_O² dm + a² ∫ dm ─ 2 (a ∫ r dm)/

Интеграл слева есть момент инерции I_А тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции I_О относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫ r dm =

= m R _C, где R _С - радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О. Таким образом,

I_А = I_О + m а² ─ 2m(aR _C).

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. В этом случае R _С = 0 и предыдущая формула упрощается, принимая вид

I_А = I_С + m а² (2.17)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса – Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельно оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной mа², где а – расстояние между осями.

Вычислим в качестве примера момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длинной l. Пусть ось вращения проходит перпендикулярно стержню через его середину С, т.е. через центр масс. Ось Х направим из середины стержня вдоль него. На расстоянии х от начала оси выделим элемент длинной dх, его масса dm = m dх/dl. Тогда по формуле (2.16_

I_С = m/l x² dx = mL²/3

Моменты инерции относительно других точек стержня могут быть найдены по теореме Гюйгенса- Штейненра.

2.3 Движение тела с переменной массой. Реактивное движение.

Термин «переменная масса» употребляется в этом разделе в том смысле, что масса тела при его движении изменяется за счёт потери вещества. Например, масса ракеты изменяется за счёт истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Пусть масса ракеты в произвольный момент времени t равна m, а скорость в тот же момент равна v. Спустя время dt импульс ракеты станет равным (m + dm)(v + d v) (изменение массы ракеты dm < 0). Сюда следует добавить импульс газов, образовавшихся за время dt. По второму закону Ньютона приращение импульса системы равно импульсу внешних сил, т.е.

(m + dm)(v + d v) + dm_г v _г ─ m v = F^(e) dt,

Где dm_г – масса газов, образовавшихся за время dt, а v _г – их скорость. Раскрывая скобки можно пренебречь произведением dm d v, кроме этого dm_г = ─ dm, и v _отн = v_г ─ v есть скорость истечения газов относительно ракеты. После преобразований получаем

m d v /dt = v dm/dt + F^(e) (2/18)

Уравнение (2.18) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским и называется поэтому уравнением Мещерского. По форме уравнение (2.18) совпадает сор вторым законом Ньютона, однако к внешней силе добавляется слагаемое v _отн dm/dt, которое называют реактивной силой.

Если на ракету не действуют никакие внешние силы, то из (2.18) в проекциях на ось направленную вдоль движения ракеты, получаем dv = ─ v_отн dm/m. После интегрирования с начальными условиями, - при t = 0 начальная скорость ракеты равна нулю, а её масса равна m₀ получаем

v = v_отн ln(m₀/m),

или

m₀/m = exp(v/v_отн) (2.19)

Последнее соотношение называется формулой Циолковского. Эта формула позволяет оценить запас топлива, которое должна иметь ракета для достижения необходимой скорости.

2.4 Неинерциальные системы отсчёта.

В природе не существует инерциальных систем отсчёта, Это такая же физическая абстракция, как и материальная точка и т.д. В астрономии используется гелиоцентрическая система отсчёта, предложенная польским астрономом Н. Коперником, иначе называемой системой Коперника. Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси являются прямыми, направленные на три удалённые звезды, не лежащие в одной плоскости. Система Коперника практически является инерциальной системой отсчёта.Условимся называть неподвижной какую-либо произвольно выбранную инерциальную систему отсчёта, а движение относительно неё – абсолютным. Движение относительно неподвижной системы тела, неподвижного относительно движущейся системы, называется переносным.

Возьмём две системы отсчёта: неподвижную систему S₁ с началом координат в точке О₁ и движущуюся систему S с началом координат в точке О. Обозначим через R₀ вектор, проведённый из О₁ в О. В неподвижной системе второй закон Ньютона запишется в виде m а_абс=F. Положение произвольной точки М в неподвижной системе определяется радиусом-вектором R, а в движущейся = радиусом-вектором r. Векторы R, R₀ и r в каждый момент времени связаны соотношением

R = R₀ + r (2.20)

Дважды дифференцируя это соотношение по времени, получим

а_абс = а_отн + а_пер , (2.21)

причём а_пер = а₀ есть ускорение начала О в системе S₁. Тогда из второго закона Ньютона получим

m а_отн = F ─ m а₀ (2.22)

На правую часть этого уравнения формально можно смотреть как на некоторую «силу», которая в рассматриваемом случае не обязательно является результатом взаимодействия тел. «Сила» F ─ m а₀ состоит иэ двух существенно различных слагаемых. Первое слагаемое F есть «настоящая сила» в том смысле, что она является результатом взаимодействия тел. Она не изменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Совсем другой характер имеет слагаемое ─ m а₀, она возникает не из-за взаимодействие тел, а из-за ускоренного движения системы отсчёта. Она называется силой инерции, точнее поступательной силой инерции. При переходе к другой ускоренной системе отсчёта изменяются и силы инерции. Этим силы инерции отличаются от «настоящих сил». Второе отличие состоит в том, что силы инерции не подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу.

Гораздо сложнее обстоит дело при произвольном движении системы S. Если v_О – скорость, с которое двигается начало координат О, а ω – угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через О, то абсолютное ускорение определяется в случае ω = const по теореме Кориолиса:

а_абс = а_отн + 2[ ω v_отн ] + _пер Место для формулы.+ [ ω [ ω r ] (2.23)

В этой формуле второе слагаемое зависит как от относительного, так и от переносного движения и называется кориолисовым ускорением по имени Кориолиса, который впервые ввёл это понятие в механику. Третье слагаемое есть ускорение начала координат О, последнее слагаемое, обозначаемое в дальнейшем а_ц, есть центростремительное ускорение. Если представить радиус-вектор в виде r = r_|| + r_┴, где r_|| и r_┴ - компоненты этого радиуса-вектора, направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно, то получаем

а_ц = ─ ω² r_┴ (2.24)

Применим полученные уравнения к движению тел относительно Земли. Движущуюся систему отсчёта S свяжем с вращающейся Землёй, начало координат О поместим в центре Земли. Таким образом, под v_о следует понимать скорость, а под d v_о /dt – ускорение центра Земли. Далее, так как речь будет идти об относительном движении, условимся опускать в уравнения индекс «отн». Внешнюю силу представим в виде суммы трёх сил F = F_З + F_Л + F_О, где F_З – сила гравитационного притяжения Земли, F_Л – равнодействующая сил гравитационного притяжения Луны, Солнца и других небесных тел, F_О – геометрическая сумма всех остальных сил, действующих на рассматриваемую материальную точку. В этих обозначениях второй закон Ньютона примет вид

m a = (F_З + mω² r_┴) + 2m[ v ω ] + F_О + (F_Л ─ m d v_о /dt) (2.25)

Используем далее обобщённый закон Галилея, согласно которому все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Если внешних сил нет, а тело неподвижно относительно Земли, то первое слагаемое формулы (2.25) пропорционально только массе материальной точки, т.е.

F_З + mω² r_┴ = m g, (2.26)

где вектор g есть ускорение свободного падения. Мы видим, что ускорение свободного падения состоит из двух слагаемых. Первое из них, F_З /m, есть ускорение, вызванное силой гравитационного притяжения Земли. Второе слагаемое ω² r_┴ есть ускорение, сообщаемое центробежной силой инерции и связанное с вращением Земли.

Весом тела называется приложенная к нему сила Р, равная силе, с которой тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено. При этом тело, подставка и подвес неподвижны относительно Земли.

Основной вклад в силу Fл вносят гравитационные поля Солнца и Луны, которые, в особенности гравитационное поле Луны, неоднородны. При рассмотрении движений вблизи поверхности Земли эту неоднородность можно не учитывать, тогда внешние гравитационные поля сообщают рассматриваемой материальной точке такое же ускорение, что и центру Земли, т.е.

F_л ̶ m d v_o /dt =0.

Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли, тогда из формулы (2.25) получаем

а = g + 2[ v ω ].

Это уравнение описывает свободное падение тел с учётом вращения Земли. При палении тел без начальной скорости ускорение Кориолиса проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку от направления отвеса. Это отклонение невелико, например, на широте Москвы при падении с высоты 500 м восточное отклонен ие составляет всего 13,8 см. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах уже в середине 19 века. Опыты по отклонению к востоку свободно падающих тел были первыми экспериментальными доказательствами вращения Земли, однако для этой цели более подходящим является маятник Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Опыты, проведенные в 1850 г. Фуко, показали, что плоскость качаний маятника медленно поворачивается в том же направлении, в каком совершают суточное вращение Солнце и звёзды на небесной сфере.

З Приливы и отливы, наблюдаемые у берегов

В О А Л океанов и морей, объясняются неоднородностью

поля тяготения Луны и отчасти Солнца. Для прос-

Рис.2.2 тоты будем считать Землю твёрдым шаром, покры-

тым океаном постоянной глубины (Рис.2.2)

Рассмотрим точки океана А и В, расположенные по разные стороны от Земли. Точка А, для которой Луна находится в зените, расположена ближе к Луне, чем точка В. Под влиянием гравитационного притяжения Луны точка А будет приближаться к Луне с большим ускорением, чем центр Земли О, а точка В – с меньшим ускорением. В результате на поверхности океана образуются два диаметрально противоположных горба, которые при вращении Земли бегут по поверхности океана, следуя за движением Луны. Время между следующими друг за другом положениями максимального уровня воды составляет 12 ч 25 мин, т.е. ровно половину промежутка времени, в течение которого Луна совершает полный оборот вокруг Земли. Причина возникновения приливов была объяснена ещё Ньютоном, Однако длительное время ученые не могли объяснить тот факт, что между кульминацией Луны и последующей полной водой проходит значительный промежуток времени, составляющий несколько часов. Объяснение этому факту было дано в динамической теории, разработанной Эйри.

Солнечные приливы накладываются на приливы лунные. Они усиливают друг друга, когда Солнце и Луна находятся на одной прямой с Землёй, т.е. в полнолуние и новолуние. Наступающие толгда приливы называют большими (сизигийными) приливами. На открытых островах в океане амплитуда приливов составляет порядка 1 м, у берегов океана – около 2 м. Наиболее значительные приливы наблюдаются в заливе Фунди на восточном побережье Канады, где величина обычных приливов достигает 16 м, а при сизигийных приливах превышает 20 м.

2.5 Механика движения жидкостей и газов.

Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет очень сложную задачу. Для её упрощения пренебрегают силами вязкости и изменением плотности. Рассмотрим стационарное течение такой жидкости в поле силы тяжести. Применим к этому случаю закон сохранения механической энергии. Введём для описания движения среды понятие линии тока, -касательная, проведённая к линии тока в данный момент времени, _{указывает} направление скорости среды в данной точке. Возьмём произвольный контур С и через каждую его точку проведём линии тока. Они расположатся на некоторой поверхности, называемой трубкой тока. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим

P₁ часть жидкости, занимающую объём MNDC (Рис. 2.3). Пусть

N эта часть переместилась в бесконечно близкое положение

M M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу, совершаемую при этом силами

N₁ давления. При перемещении границы MN в положение M₁N₁

M₁ совершается работа A₁ = P₁S₁l₁, где l₁ = MM₁ – величина пере-

D мещения. Если Δ₁m – масса жидкости в объёме MNN₁M₁, a ρ₁-

C D₁ её плотность, то A₁ = P₁ Δ₁m/ρ₁. При перемещении границы

C ₁ СD в положение C₁D₁ жидкость совершает работу против дав-

P₂ ления Р₂, равную A₂ = P₂ Δ₂m/ρ₂. Стационарном случае Δ₁m=

= Δ₂m, а работа внешнего давления А=А₁̶ А₂ должна равнять-

Рис.2.3 ся приращению полной механической энергии массы жидкос-

ти Δm. В результате получаем

P/ρ + v²/2 + gh = const (2/27)

Это соотношение называется уравнением Бернулли. Допустим теперь, что ось трубки горизонтальна, а её сечение изменяется. Тогда h = const и уравнение Бернулли принимает вид:

P/ρ + v²/2 = const/

Отсюда видно, что в широких частях трубки, где скорость течения меньше, давление больше.

В случае неподвижной несжимаемой жидкости давление растёт по мере погружения в неё. На глубине h давление равно Р₀ + ρgh, где Р₀ – давление над поверхностью жидкости. Наличие гидростатического давления приводит к появлению выталкивающей силы, действующей на тела, погруженные в жидкость полностью или частично. В результате мы приходим к закону Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкивающей силе гидростатического давления, численно равной весу жидкости в объёме, вытесненном телом. Эта выталкивающая сила направлена вверх и проходит через центр масс жидкости, вытесненной телом.

При движении тел внутри жидкости возникают силы вязкого трения. Рассмотрим две параллельные длинные пластины, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластин неподвижна, а вторая движется относительно неё с постоянной скоростью v₀. Для поддержания этой скорости постоянной к движущейся пластине необходимо прикладывать постоянную силу F, направленную в сторону движения. Как было экспериментально установлено ещё Ньютоном, сила F пропорциональна v₀, площади S пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами:

F = η S v₀/h.

Здесь η – постоянная, называемая вязкостью, или коэффициентом внутреннего трения жидкости. Для данной жидкости коэффициент η зависит от параметров. характеризующих её внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры.

Дата добавления: 2015-03-31