Пример 1. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля.

1\Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

function changeDecision(proofobj, proofname) { if (proofobj.style.display=='none') { proofobj.style.display='inline'; proofname.innerHTML='Решение'; } else { proofobj.style.display='none'; proofname.innerHTML='Показать решение'; } } Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая: 1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

1

Рисунок 3.1.8.1

1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид

x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.

1. –4 < x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.
2. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

2/Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),

(9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Дата добавления: 2015-04-23