Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований

Параллельный перенос.

4. Поворот (вращение) — 0 центр, — угол.

если , то любая — тождественное преобразование

центральная симметрия не является тождественным преобразованием.

Среди центральной и осевой симметрией нет тождественных преобразований, параллельный перенос на нулевое расстояние является тождественным преобразованием.

Среди поворотов есть тождественное преобразование (на нулевой угол).

В геометрии приходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг за другом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающая тем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этой совокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, и преобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, снова принадлежит данной совокупности. Это называется - группа преобразований. Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрических свойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы, часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.

Определение. Преобразованием фигуры называется любое биективное отображение фигуры на себя.

Теорема (о группе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры есть группа.

Следствие. Множество всех преобразований плоскости является группой преобразований относительно композиции преобразований.

Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество V множества W, являющееся группой относительно бинарной операции, определенной в W.

Теорема (о подгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

Если W, W, то V.

Если V, то V

Дата добавления: 2015-04-23