Группа движений плоскости и ее подгруппы

Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.

Теорема: Множество движений плоскости с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности.

Доказательство:

1. Докажем, что композиция двух движений есть движение:

Пусть и — движение ( ) — преобразование. Рассмотрим образы любых двух точек при каждом движении.

т.е.

Доказать: .

Действительно, т.к. — движение, следовательно . — тоже движение. Следовательно, . Следовательно, . Следовательно, — движение (). — расстояние между точками — (отношение) .

2. Докажем, что ассоциативность композиции раннее доказано, что композиция преобразования ассоциативна. Осталось доказать, что этим свойством в частности, обладает и движение.

Действительно, если рассмотреть образы двух точек и , то очевидно, что расстояние между ними не изменится, если выполнить преобразование или .

3. Покажем, что на множестве существует нейтральный элемент: — нейтральный элемент: тождественное преобразование .

4. Для любого существует такой, что . Действительно для любого существует симметричный элемент. Для ; ; — сама является для себя симметричным элементом, т.к. . Такие преобразования называются инвариантными .

Группа движений плоскости имеет подгруппа.

Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.

Доказательство: — группа.

Способы задания: любым вектором ; направлением и расстоянием; парой соответствующих точек ; в координатах

1. Компоненты двух переносов есть перенос — переносы. Рассмотрим . Композиция двух переносов — это перенос на сумму векторов, а сумма векторов это вектор, следовательно композиция переносов это перенос, Можно рассуждать иначе, в координатах — первый перенос

— параллельный перенос.

2. Ассоциативность:

— переносы.

Рассмотрим

3. Существует

4. Для любого существует :

Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.

Доказательство: Рассмотрим композицию двух поворотов с общим центром. . Докажем, что компоненты двух поворотов с общим есть поворот с тем же центром на сумму углов.

Дата добавления: 2015-04-23