Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Групповой подход к геометрии

Группа аффинных преобразований.

Теорема: Множество аффинных преобразований плоскости образуют группу.

Доказательство:

Пусть задано множество аффинных преобразований и композиция двух аффинных преобразований . , — аффинное.

По определению точки не меняют своих координат в соответствующих реперах. Композиция двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование, т.е. операция замкнута на множестве А.

а) — нейтральный элемент. .

б) преобразование, обратное к аффинному также есть аффинное преобразование.

в)

г) группа не является коммутативной т.к. есть примеры того, что два аффинных преобразования дают не коммутативную композицию. Например:

Подгруппа группы аффинных преобразований.

Теорема: Множество движений плоскости есть подгруппа группы аффинных преобразований.

Доказательство:

1 типа: Любое движение есть аффинное преобразование аналогично.

группа гомотетий

группа подобий

Аффинные преобразования в координатах.

Найдем координаты задания аффинных преобразований в одном репере. Пусть задан репер : — аффинное преобразование и пусть новый репер задан в старом. , где матрица преобразования невырожденная.

формула перехода.

В координатном виде аффинное преобразование это линейное преобразование вида , где обязательно

(*) или rang матрицы преобразований равен 2.

Иногда аффинные преобразования определяются следующим образом. Всякое преобразование плоскости, которое может быть задано формулой вида (*) называется аффинным.

Задание: все теоремы доказать на языке координат.

Пример: Доказать:

Воспользуемся обратным преобразованием, которое аналогично

Дата добавления: 2015-04-23