Посмотреть

Посмотреть

Посмотреть

Окружность с центром в начале координат.

2.

;

– гипербола.

Аналогично, для y = h получаем гиперболу.

3. Рассмотрим плоскость, наклоненную под углом к . В сечении получаем либо параболу, либо эллипс.

51. В е кторное п-мерное простр а нство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам ,  эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2)(х + у)+ z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

5) 1 · х = х,

6)  (x)=() х (ассоциативность умножения);

7) ( + ) х = х + х (распределительное свойство относительно числового множителя);

8)  (х + у)= х + у (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

₁e₁ + ₂e₂ + … + _ne_n (1)

называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами ₁, ₂, ..., _n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов ₁, ₂,..., _n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = ₁e₁ + ₂e₂ + ... + _ne_n.

При этом числа ₁, _2,..., _n называются координатами вектора х в данном базисе.

Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел:  ₁,  ₂,...,  _n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(₁, ₂, …, _n)+(₁, ₂, …, _n)=(₁ + ₁, ₂ + ₂, …, _n + _n);

 (₁, ₂, …, _n)=(₁, ₂, …, _n).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

Множество R всех многочленов ₀ + ₁u + … + _nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами ₀, ₁,..., _n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u²,..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.

Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u²,..., uⁿ.

Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R'  R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v  r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁, v₂  R') вектор v (при любом ) и вектор v₁ + v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида ₁x₁ + ₂x₂ + … + _px_p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁, x₂,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени  n (линейная оболочка многочленов 1, u, u²,..., uⁿ), есть (n + 1) - мepное подпространство пространства R всех многочленов.

52. Модели линейного векторного пространства

Дата добавления: 2015-04-23