Выражение векторного произведения через координаты векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка

Скалярное произведение векторов, его основные свойства и координатное выражение. Условия ортогональности и коллинеарности векторов. Направляющие косинусы и длина вектора. Механический смысл скалярного произведения.

№70. Найти координаты, модуль и направляющие косинусы вектора , если известны координаты точек: 1). A(2; n;4) и B(3; 7; 5). 2). А(n; 2; 5) и В(4; 4; 0).

Ответ: 1) ; ; ; ; ;

2) ; ; ; ; .

№71. Пользуясь понятием проекции вектора на вектор, найти длины отрезков, на которые высота, опущенная из вершины В(2; 0; -2) треугольника АВС, делит сторону АС с концами А(3; 5; 6) и С(3; 4; -6).

Ответ: ;

№ 72. Найти проекцию вектора на ось e, которая составляет с координатными осями x, y и z углы α_0, β₀, γ₀ соответственно.

Ответ:

№ 73. Найти проекцию вектора = (2; 5; 1) на ось e, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Ответ:

№ 74. Найти проекцию вектора на направление вектора , если , , и .

Ответ:

№75. Известно, что , , . Найти .

Ответ:

№ 76. Найти скалярное произведение векторов = (2; 1; -3) и = (5; -4; 2), угол между ними и проекцию вектора на направление вектора .

Ответ: ;

№77. Даны векторы и . Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если и .

Ответ:

№ 78. Даны векторы и такие, что , , . Найти .

Ответ: = 20.

№ 79. Найти вектор , являющийся ортогональной проекцией вектора = (1, 4, 8) на прямую, параллельную вектору = (1, 2,-2).

Ответ:

№80. Даны векторы =(-n,-2), =(-2,n), =(0,4). Найдите вектор .

Ответ:

№81. Пусть векторы перпендикулярны. При каком значении параметра μ вектор перпендикулярен вектору ?

Ответ: .

№82. Доказать, что треугольник АВС тупоугольный, если его вершинами являются точки А(2; 3), В(6; 7) и С(-7; 2).

№83. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

Ответ:

№84. Найти косинус внутреннего угла А в треугольнике с вершинами А(2; 3; 1), В(1; 4; 0) и
С(-1; 1; 1).

Ответ:

№ 85. Найти вектор если = (1; -n; -2), ; = (2; n; 3), , и

Ответ:

№ 86. Найти вектор , перпендикулярный векторам если известно, что он образует с осью у острый угол и его длина равна .

Ответ:

№ 87. Дан равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 1. Полагая , и , вычислите .

Ответ:

№ 88. Известно, что векторы и взаимно перпендикулярны. Какой угол образуют единичные векторы и ?

Ответ:

№ 89. Может ли вектор составлять с осями координат углы и в системе xyz?

Ответ: Не может.

№ 90. Вычислите , если и .

Ответ:

№ 91. Вычислить косинус тупого угла, образованного медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника. Ввести систему ху.

Ответ: .

№ 92. Найти угол при вершине С равнобедренного треугольника ABC (AC = BC), если медианы, проведенные к его боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Ответ: Ð С = arccos 0,8. Указание: Расположить треугольник на координатной плоскости ху.

№93. В призме ABCA₁B₁C₁ найти угол между диагональю AC₁ боковой грани и медианой AM основания, если A(-1; 3; 4),B(4; 4; 2), C(0; 2; 0), C₁(1; 4; 3).

Ответ:

№94. Концы А(9; 6; 4), В(3; 0; 4) и С(5; 2; 6) ребер параллелепипеда соединены с вершиной М(1; 2; 3). Найти косинус угла между диагональю МD параллелепипеда и его ребром МА.

Ответ:

№95. Найти противоположно направленный вектору вектор , если .

Ответ:

№96. Какую работу производит равнодействующая сил , приложенных к точке М(4; 2; -8), когда эта точка перемещается в точку N(n; -2; -5)?

Ответ: 19 ед. работы.

№ 97. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

Ответ:

№98. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию где .

Ответ:

№99. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

Ответ: S = 4 кв. ед.

№100. Векторы определены координатами своих концов А(-3; 1; 0), В(-1; -1; -2),
С(-2; 2; 0) и D(-5; 1; 1). Найти вектор , его направляющие косинусы и площадь треугольника АВС.

Ответ: ; , , .

№101. На векторах = (2; 3; 1) и =(-1; 1; 2), отложенных от одной точки, построен треугольник. Найти длины трех его высот.

Ответ:

№102. Дан треугольник с вершинами А(-n; 0), В(0; -2) и С(n; 2). Точка D делит отрезок АС в отношении -3. Найти координаты точки D и вычислить площадь треугольника АВD.

Ответ: ; S_АВД = 30.

№103. Даны две точки: L(3; 5) и M(6; -2). На оси y найти такую точку N, чтобы площадь треугольника LMN равнялась 15 кв. ед.

Ответ: или .

№104. Даны вершины А(2; 1), В(-2; -2) и С(-8; 6) треугольника. Найти длину высоты, опущенной из вершины В.

Ответ:

№105. Три силы приложены к точке А(3; -n; 8). Определить модуль и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки В(4; -2; 6).

Ответ: ; , .

Дата добавления: 2015-04-24