Векторы, действия с векторами, скалярное произведение векторов, ЛЗ и ЛНЗ векторы

Однородные системы линейных уравнений.

Если свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной.

Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Для решения однородных систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса.

Вектор – направленный отрезок, заданный координатами начала и конца.

Алгебраическое определение вектора – вектор - направленный набор чисел, который называется координатным вектором.

Длинной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.

Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях.

Ортогональные векторы – векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

Сумма векторов:

(правило треугольника) (рис. 1.22);

(правило параллелограмма) (рис. 1.23);

(правило многоугольника);

(правило параллелепипеда, - диагональ).

Разность векторов:

Формула вычитания векторов: (рис. 1.24).

Признак коллинеарности векторов:

Свойства векторов:

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства

Координатные формулы

Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; - координаты вектора ; - координаты вектора ; или

Тогда:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Длина вектора:

Если - начало вектора, - его конец, то

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Дата добавления: 2015-04-24