КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные операторы, матрица линейного оператора
Преобразование координат вектора Матрица системы векторов Базис линейного векторного пространства, переход от одного базиса к другому Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства . Обозначение: Для каждого вектора существуют числа такие что Числа называются координатами вектора в базисе () (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись: Справедливы формулы: Для векторов ..., в базисе () - матрица m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rang A = m. Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе . Если , то: или кратко: Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису . Если то В развернутой записи: Очевидно, что Пусть рассматриваются два линейных пространства различной размерности Км и Кп. Если существует правило или закон, согласно которому каждому вектору пространства Км ставится в соответствие некоторый вектор пространства Кп, то говорят, что определен оператор перехода от одного пространства к другому. Вектор y, соответствующий вектору x при отображении линейного оператора,называется образом вектора x и обозначается символом А(x), т.е. y = А(x). При этом x называется прообразом вектора y.
Оператор А является линейным, если он удовлетворяет условиям: 1. А(x+y)=A(x)+A(y) 2. A(kx)=kA(x). Каждый лин.оператор определяется матрицей перехода; каждой матрице соответствует лин. оператор в n-мерном пространстве. Один и тот же оператор имеет различные матрицы в различных базисах. Матрицей линейного оператора А: Xn → Ym в базисах e1, e2, …, en и f1, f2, …, fm называется матрица размера m × n, у которой:
1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства Xn: Аe1,А e2, …, Аen в базисе пространства Ym; 2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора. Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):
Замечания. 1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам). 2. Количество столбцов матрицы линейного оператора : Xn → Ym равно размерности исходного пространства Xn, а количество строк — размерности пространства Ym. 3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел). 4. Если оператор отображает пространство Xn в Xn, то оба базиса совпадают и матрица оператора (квадратная) определяется заданием одного базиса. Действия с операторами и их матрицами Сложение операторов Пусть Xn и Ym — линейные пространства, А: Xn → Ym и В: Xn → Ym — операторы (не обязательно линейные) с общей областью определения D. Матрицы А и А* линейного оператора в базисах (е1, е2,…,еп) и (е*1,е*2,…е*п) связаны соотношением: А*=С-АС, где С – матрица перехода от старого базиса новому. Нулевым О(x) или тождественным Е(x) называются операоры, действующие по правилу: О(x)=0, Е(x)=x. Суммой операторов А: D М Xn → Ym и В: D М Xn → Ym называется оператор С: D М Xn → Ym, обозначаемый С= А(x)+В(x) И такой, что "x О D С(x) = А(x) + В(x). Сумма линейных операторов есть линейный оператор. При сложении операторов их матрицы в фиксированных базисах складываются.
Умножение оператора на число Пусть Xn и Ym — линейные пространства, А: D М Xn → Ym — оператор (не обязательно линейный). Произведением оператора А:D М Xn → Ym и числа α называется оператор С:D М Xn → Ym, обозначаемый С= αА и такой, что "x О D С(x) = αА(x). Произведение линейного оператора и числа есть линейный оператор. При умножении оператора на число его матрица в фиксированных базисах умножается на это число.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1274; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |