Двумя проекциями

Двумя плоскостями (a; b).

Прямая на плоскости, способы задания

Способы графического задания прямой линии

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками (А и В).

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 15). Через эти точки можно провести прямую линию. Для того чтобы найти проекции отрезка [BA] на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка:

[A₁B₁]<[BA]; [A₂B₂]<[BA;] [A₃B₃]<[BA].

а) модель	б) эпюр
Рисунок 15.Определение положения прямой по двум точкам

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через α - с плоскостью П₁, β - с плоскостью П₂, γ- с плоскостью П₃ и тогда получим:

|А₁В₁|=|BA|cos a

|A₂B₂|=|AB|cos b

|A₃B₃|=|AB|cos g.

Частный случай |A₁B₁|=|A₂B₂|=|A₃B₃| при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы a=b=g=35⁰, при этом каждая из проекций расположена под углом 45⁰ к соответствующим осям проекций.

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

Пусть в плоскостях П₁ и П₂ даны проекции прямых заданных отрезками [А₁В₁] и [A₂B₂]. П роведем через эти прямые плоскости a и b перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.16а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком [АВ], проекциями которой являются отрезки [А₁В₁] и [А₂В₂].

а)a яаньлелларапен b	б) a и b тюадапвос
Рисунок 16.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

	Плоскости a и b могут слиться в одну плоскость g, если, например, проекции [ А 1 В 1] и [ А 2 В 2] перпендикулярны оси x и пересекают ее в одной точке (рис.16б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П 2. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.17).
Рисунок 17. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций
положение прямой линии относительно плоскостей проекций

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.18).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 18. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.19). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B Þ A₂B₂//0x; A₃B₃//0y Þ x_Ax–_B≠, y_Ay–_B≠, z_Az–_B.=

а) модель	б) эпюр
Рисунок 19. Горизонтальная прямая

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями (рис.20).

y_A=y_BÞ A ₁ B ₁,x A ₃ B ₃z Þ x_Ax–_B≠, y_Ay–_B,= z_Az–_B≠.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 20. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 21).

x_A=x_B Þ A ₁ B ₁,y A ₂ B ₂z Þ x_Ax–_B,= y_Ay–_B≠, z_Az–_B≠.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 21. Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ. сир(22)

x_Ax–_B=ü

y_Ay–_B≠ý

z_Az–_B=þ,

а) модель	б) эпюр
Рисунок 22. Фронтально проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.23)

x_Аx–_B≠ü

y_Аy–_B=ý

z_Аz–_B=þ,

а) модель	б) эпюр
Рисунок 23. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.24)

x_Аx–_В=ü

y_Аy–_В=ý

z_Аz–_В≠þ.

	А
а) модель	б) эпюр
Рисунок 24. Горизонтально-проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ S1бис Þ x_Ax–_B=; z_Bz–_Ay=_By–_A;

СD S2бис Þ x_Сx–_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.

Биссекторной плоскостью называется плоскость, проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П₁ и П₂ пополам. Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (S1бис), а через 2 и 4 четверти - второй (S2бис).

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ S^2бис Þ x_Ax–_B=; z_Bz–_Ay=_Вy–_А;

СD S^1бис Þ x_Сx–_D=; z_Dz–_Cy=_Cy–_D.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 25. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям
следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка (рис. 26), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её координат должна быть равна нулю).

Горизонтальный след - М (z_M)=- точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальный след - N y(_N)= - точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций.

Профильный след - Т (x_Т)= - точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 26.Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N₂ºN, а N₁ лежит на оси x, N₃ - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

Дата добавления: 2015-04-24