Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Композиция (произведение) операторов

Пусть X_n, Y_m и Z_l – линейные пространства, А: X_n → Y_m и В: Y_m → Z_l — операторы (не обязательно линейные).

Композицией операторов А: X_n → Y_m и В: Y_m → Z_l называется оператор С: X_n → Z_l такой, что "x О X_n С(x) = В(А(x) (рис. 1).

Композиция С операторов А и В обозначается С= В*А.

Композиция линейных операторов есть линейный оператор.

Матрица композиции линейных операторов в фиксированных базисах равна произведению матриц этих операторов в тех же базисах.

Пусть А: X_n → X_n — линейный оператор.

Вещественное число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор x О X_n такой, что

А (x) = λ (x).

Вектор x называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению λ.

Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.

Свойства собственных векторов:

Пусть А: X_n → X_n — линейный оператор.

-Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.

-Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

-Если линейный оператор А: X_n → X_n имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в X_n. Такой базис называется собственным базисом линейного оператора А.

-Матрица A линейного оператора А: X_n → X_n в некотором базисе x1, x2, …, x_n имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные значения оператора λ1, λ2, …, λ_n.

Дата добавления: 2015-04-24