ВОПРОС Криволинейный интеграл второго рода

Поверхностный интеграл 1-го рода

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(92)

(Ω – проекция S на плоскость О ху).

2. Масса поверхности

(93)

Пример 25.

Найти массу поверхности S: x ² + y ² + z ² = 4, с поверхностной плотностью.

Зададим поверхность S в явном виде: и найдем dS:

.

Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром в начале координат, вырезанную плоскостью. Найдем проекцию этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность, то есть х ² + у ² = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Вычислим массу поверхности в полярных координатах:

3. Моменты:

- (94)

- статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей O xy, O xz, O yz;

(95)

- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

- (96)

- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (97)

- момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (98)

Замечание. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале главы. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые без подробного вывода.

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку M_i и умножим значение функции в этой точке не на длину i- го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось О х, то есть на разность x_i – x_{i- 1} = Δ x_i. Составим из полученных произведений интегральную сумму.

Определение 8. Если существует конечный предел при интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M_i, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (43)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение 9. Если вдоль кривой L определены функции P(M) =

=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора,и существуют интегралы

,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. (44)

Замечание. Если считать, что вектор представляет собой силу, действующую на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (44) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 9).

2. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(45)

Действительно, при этом изменяется знак Δ x_i в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода

Теорема 4. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (40) существует и имеет место равенство

. (46)

Доказательство.

Запишем Δ x_i = x_i – x_{i- 1} = φ(t_i) – φ(t_{i- 1} ) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(t_i) – φ(t_{i- 1} ) = φ΄(τ_i) Δ t_i, где τ_i – некоторое значение t, заключенное между t_i-1 и t_i. Выберем точку М_i так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τ_i: M_i(φ(τ_i), ψ(τ_i), χ(τ_i)). Подставив эти значения в формулу (43), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [ α, β ], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегралов вида, откуда следует, что

(47)

Пример 8.

Вычислим интеграл, где L – отрезок прямой от точки А (1,2,-2) до точки В (0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Дата добавления: 2015-04-24