И непериодических функций

Для функций, заданных на интервале

Тригонометрический ряд Фурье

Ряд Фурье по ортогональной системе вещественных функций

Основная теорема о вычетах.

Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой области за исключением крнечного числа особых точек, то согласно теореме (интегр.) Коши для многосвязной области:

. С другой стороны, если интеграл расписать как

.

6 ВОПРОС § Ортогональные системы вещественных функций

Определение ортогональных функций

Две интегрируемые функций и называются ортогональными на промежутке, если.

Определение ортогональной системы вещественных функций

Система функций называется ортогональной на, если эти функции попарно ортогональны на, то есть , если, .

Определение ряда по ортогональной системе функций

Пусть – ортогональная система вещественных функций на. Рядом по ортогональной системе вещественных функций называется ряд, где – вещественные коэффициенты.

Теорема о коэффициентах ряда Фурье

Пусть ряд по ортогональной системе вещественных функций равномерно сходится на к функции. Тогда коэффициенты этого ряда имеют вид и называются коэффициентами Фурье.

Определение тригонометрического ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд

Теорема Дирихле (достаточные условия представления функции в виде суммы её ряда Фурье)

Пусть функция f (x) 1. периодическая, с периодом T=2ℓ; 2. кусочно-непрерывная на любом конечном промежутке [ x 1, x 2] и может иметь разрывы только I рода; 3. кусочно-монотонная. Тогда ряд Фурье, составленный для этой функции, сходится к функции f (x) в каждой точке непрерывности и к среднему арифметическому односторонних пределов в точках разрыва первого рода:     (х 0 - точки разрываI-города).

§ Ряд Фурье для чётной и нечётной функции,

Лемма 1

Если f (x) – чётная функция на промежутке, то .

Пример. Разложение функций в ряд Фурье.

Лемма 2

Если f (x) – нечётная функция на промежутке, то .

Разложение функций в ряд Фурье в интервале

Функцию, заданную на интервале доопределяют на интервал чётным образом, если и нечётным образом, если. Вне интервалапродолжают периодическим образом. Проверяют выполнение условий Дирихле для полученной функции, вычисляют коэффициенты Фурье по соответствующим формулам и записывают ряд Фурье.

Разложение функций в ряд Фурье непериодических функций

Функцию, заданную на интервале, вне интервала продолжают периодическим образом. Проверяют выполнение условий Дирихле для полученной функции, вычисляют коэффициенты Фурье по соответствующим формулам и записывают ряд Фурье.

Дата добавления: 2015-04-24