Поверхностный интеграл первого рода

ВОПРОС Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δ s_i длиной Δ s_i и выберем на каждой из частей точку M_i. Составим интегральную сумму. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой:.

Определение 7. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_i, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

. (37)

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (36) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

(38)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

,

где - координата точки M_i, является обычной интегральной суммой для определенного интеграла Следовательно, = (39)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t₀ ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (39) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(40)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ (х), где х ₁ ≤ х ≤ х ₂, формула (40) преобразуется к виду:

. (41)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противо-речию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S₁, S₂,…, S_n. Выберем в каждой части точку M_i и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проекции плоскую фигуру с площадью T_i. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.

Определение 10. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей T_i при:

. (54)

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S₁, S₂,…, S_п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_п). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S_i точку

M_i (x_i, y_i, z_i) и составим интегральную сумму

. (55)

Определение 11. Если существует конечный предел при интегральной суммы (55), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M_i, то он называется поверх-ностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

. (56)

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного

интеграла 1-го рода

Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 11

следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой поверхности равна

. (57)

7 ВОПРОС!!!Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1-го рода

1. Длина кривой

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(85)

2. Масса кривой

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(86)

Пример 23.

Найти массу кривой с линейной плотностью, заданной в полярных координатах уравнением

Используем формулу (86):

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской

области:

- (87)

- статические моменты плоской кривой l относительно осей О х и О у;

- (88)

- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

- (89)

- моменты инерции кривой относительно координатных осей.

-

4. Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

.

Дата добавления: 2015-04-24