Вычеты

Изолированные точки

Ряды Тейлора и Лорана.

Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Т:- аналитическая функция в многосвязной области с внешней границей и -границы замкнутых контуров внутри области, тогда

Док - во:

Приведем в случае трехсвязной области.

Сделаем 2 разреза. Путем их сводим нашу область к односвязной.

Для односвязной области справедлива интегральная теорема Коши

Если функция аналитическая, то интеграл от нее не зависит от пути интегрирования.

Если такова, что интеграл от нее не зависит от пути интегрирования, то явл. Аналитической и (теорема Мереры)

первообразная для функции

Если, то

;.

Ряд Лорана по степеням - это формула вида

Правильная часть ряда Лорана сходится в круге

Главная часть ряда Лорана сходится в круге, где - внешность круга.

. Если выполняется это условие, то ряд Лорана сходится в кольце.

Теорема Тейлора. Пусть функция является аналитической в точке. Следовательно,, где - ряд Тейлора по степеням. Полученное разложение функции однозначно.

Доказательство.

Теорема Лорана. Пусть функция является аналитической в кольце. Тогда, где - ряд Тейлора по степеням. Полученное разложение функции однозначно.

Нули ф-ции f(z)=0 наз. изолированными, если их можно окружить непересекающимися окрестностями. Для аналитической ф-ции нули явл. изолированными.

Полюсы.

Предположим, что f(z) аналитична в окрестности z=a, кроме самой точки а, в этом случае точка z=a явл. Изолированной особой точкой ф-ции. В окрестности этой точки f(z) разлагается в ряд Лорана.

Пусть все С_-n равны нулю, тогда. Если перейти к пределу,, но в самой точке ф-ция неопределена. В этом случае точку а наз. устранимой особой точкой ф-ции f(z).

Пусть в главной части ряда Лорана имеется конечное число (к) слагаемых, тогда точка z=a наз. полюсом к-ого порядка.. При z=a С_-к¹0. правую часть обозначим j(z). Функция j(z) явл. Аналитической ф-цией всюду, кроме точки z=a., где j(z)¹0

. Если для ф-ции f(z) z=a ­ полюс к-ого порядка, то для ф-ции, y(а)¹0, есть ноль к-ого порядка. Справедливо и обратное: если для ф-ции z=a ­ полюс к-ого порядка, w(а)¹0.

Полюсы также явл. Изолированными особыми точками.

Если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число слагаемых, т точка z=a наз. существенно особой точкой.

Если ф-ция аналитическая в какой-то конкр. окрестности z=a, она может быт разложена в ряд Лорана: Особую роль среди коэф-тов играет коэф-т С_-1. Он наз. вычетом ф-ции f(z) в точке z=a.., где контур g ­ замкнутый контур, окружающий точку z=a и положительно ориентированный. В качестве g можно взят окр. С центром в точке а достаточно малого радиуса (чтобы контур не содержал внутри других особых точек).

.

Вычисление вычетов в полюсе.

Пуст точка z=a явл. полюсом 1-ого порядка. В этом случае разложение в ряд Лорана. Домножим f(z) на z-a

. Переходя к пределу при, получим, что.

Дата добавления: 2015-04-24