Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости

Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрассе.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема1. Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом.

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от х.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a; b], если для любого сколь угодно малого найдется такой номер N, что при всех будет выполняться неравенство для любого х их отрезка [a; b].

Признак Вейерштрассе.

Пусть есть функциональный ряд. Если для него справедливо неравенство и числовой ряд при сходится в некоторой области D, то в этой области ряд сходится равномерно.

Непрерывность суммы.

В области равномерной сходимости сумма ряда есть ф-я непрерывная.

Следствие: если функциональный ряд в некоторой области Д сходится равномерно то в этой области возможен предельный переход:.

В области равной сходимости функциональных рядов их можно почленно интегрировать.

.

Равномерносходящиеся ряды в области равной сходимости можно почленно диффериенцировать.

.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида, где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сходится при некотором значении, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого.

Если ряд расходится при некотором значении, то он расходится при всяком х, для которого.

Доказательство: Так как по предположению числовой ряд сходится, то его общий член при, а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд в виде и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.

Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию. Действительно, если бы в какой-либо точке х-, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке, так как. Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Теорема полностью доказана.

Интервалом сходимости степенного ряда является такой интервал от –R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

Дата добавления: 2015-04-24