Интегральная теорема Коши для односвязной области

Интеграл Фурье.

Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье.

Приближенное вычисление интегралов.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

Основные свойства степенных рядов.

Если ряда (1), то на (-R;R) сумма этого рода S – есть ф-я непрерывная.

Док – во:

Возмем, тогда, тогда для [ -q;q ]Î(-R;R) по теореме Абеля ряд (1) сходится равномерно. Т. к. x выбирали произвольно, то " x Î(-R;R) S – функция непрерывная.

На интервале сходимости (-R;R) операции почленного диффериецирования и почленного интегрирования не изменяют радиус сходимости.

Док-во.

Пусть

;

- сходится, т. к. – «-

Если R ¹0, то " xÎ (-R;R) ряд (1) можно почленно диффериецировать.

Следствие: степенной ряд можно почленно диффериенцировать сколько угодно раз, при этом R не изменится.

Степенные ряды в (-R;R) можно почленно интегрировать.

Пусть ф-я f (x) является бесконечно диффериенцируемой, тогда этой ф-и можно поставить в соответствие ряд

Когда x₀ ¹0, то

В интервале сходимости (-R;R) сумма этого ряда S (x), но не всегда f (x)= S (x).

Если ряд сходится, то его можно представить в виде S_n (x)+ r_n (x) P_n (x)+ R_n (x) и S_n (x)= P_n (x), значит r_n (x)= R_n (x) иначе не равны.

Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (4) к f (x) является условие

- форма Пеано.

Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

Если все производные ограничены одной и той же константой, то ряд Тейлора сходится к ф – и по x.

- сходится по признаку Даламбера.

У сходящегося общий член ряда

, отсюда следует, что

Пусть f (x) бесконечно дифференцируема и

Является ли этот ряд рядом Тейлора?

………………………………………………………….

.

Пусть x=x₀, тогда,

или

f (x) – ряд Тейлора.

Для вычисления определенных интегралов

Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование

Если n и k – целые числа, то

.

Пусть ф-ция f(x) представлена на отрезке (-l;l)

, где

;;

f(x) абсолютно интегрируема на, тогда *Ф-ция, стоящая в правой части явл. Ф-цией от переменных. Устремим. Можно показать что если ф-ция f(x) кусочно-монотонная и ограничена, то тогда превращается в следующее (при) -интеграл Фурье.

12. Некоторые основные св-ва интеграла от функции комплексной переменной:

Линейность:

Это св-во обобщается на любое конечное число функций.

При изменении ориентации кривой, по которой берется интеграл, на противоположную, знак интеграла изменяется на противоположный:

.

Модуль интеграла:.

Т: Если функция аналитична в односвязной замкнутой облостис границей, то (2)

Односвязная область- область, новые две точки которой можно соединить непрерывной линией, не выходя за эту область. Иначе, область многосвязна,

Док-во (Т):

(поскольку функция аналитическая и к ней применимо правило Коши- Римана).

Дата добавления: 2015-04-24