Скалярное и векторное поле

ВОПРОС. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Формула Стокса

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси О z, пересекает ее не более чем в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси О z острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

,,

.

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производными первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

.

Рис. 17.

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость О ху (рис.17). Поэтому, используя формулу (46), получаем:

=.

Обозначим P (x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q (x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:. Тогда

= Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (64) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхности σ:

так как. Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

=.

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.17).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции

Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотноше-ния:

=,

=.

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, устанавливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.

Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.

Определение 17. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением

U(x, y, z) = C, (99)

называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением

U(x, y) = C. (100)

Определение 18. Если в некоторой области задано векторное поле, то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями

(101)

Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхностью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.

Определение 19. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор

(102)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента grad U.

2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

Определение 20. Пусть дано векторное поле. Интеграл

(103)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Здесь - скалярное произведение векторов и

Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают.

Пример 26.

Вычислить циркуляцию векторного поля ={ x, xy, xyz } вдоль контура L:

x ² + y ² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).

Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2 π). Тогда

Пример 27.

Вычислим циркуляцию векторного поля { x + sin x, х – e^у } по контуру

x ²+ y ² = 1.

Применим формулу Грина, учитывая, что:

Область D при этом – круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:

Дата добавления: 2015-04-24