Пример. Пусть требуется найти стационарное распределение температуры квадратной пластины со стороной, равной 1

Пусть требуется найти стационарное распределение температуры квадратной пластины со стороной, равной 1.

Заданные граничные условия на краях пластины:
при x = 0.0 и любых значениях y: T = 0.0,
при y = 0.0 и любых значениях x: T = 100*x,
при x = 1.0 и любых значениях y: T = 100,
при y = 1.0 и любых значениях x: T = 100*x²

Распределение температуры в подобных случаях описывается уравнением Лапласа с двумя независимыми переменными.

Чтобы решить задачу, введем на плоскости двумерную сетку N на N. Пусть N=5. Расстояния между соседними узлами h =1/(N-1)=0.25. Сетка содержит 25 узлов, в 16 из которых задано значение температуры согласно граничным условиям. Расположение узлов показано на рисунке. Цифрами около соответствующих узлов сетки обозначены значения температуры на границе.

Задача состоит в определении потенциала во всех внутренних узлах. (Для N=5 их 9 штук.)
Новое значение потенциала в узле можно найти с помощью крестообразного вычислительного шаблона.

T_i,j = (T_i-1,j + T_i+1,j + T_i,j-1 + T_i,j+1) / 4

Начальные значения потенциала во внутренних узлах сетки зададим нулевыми. Истинные значения T будем искать методом итераций. Конечно, N=5 очень мало, и такое число узлов приведено только для простоты схематического рисунка. Мы начнем свои расчеты с N=8.

Получив удовлетворительное решение, можно с помощью линейной интерполяции найти значения потенциала в пространстве между узлами

Дата добавления: 2015-04-24