Представление чисел с плавающей точкой в соответствии со стандартом IEEE

Формат представления чисел с плавающей точкой в СМ ЭВМ

Формат представления чисел с фиксированной точкой.

Форматы с фиксированной точкой применяется для представления целых чисел. Обычно используют 2 формата:

l с обычной точностью (короткий формат, формат H);

l с двойной точностью (длинный формат, формат F)

В первом случае для размещения двоичного кода используют 2 байта, во втором 4 байта. Во всех форматах знак числа занимает место перед старшим разрядом числа и кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак "+", код 1 – знак "-". Это место разрядной сетки называется знаковым разрядом.

Если в результате выполнения арифметической операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, результат искажается, и дальнейшие вычисления теряют смысл.

В СМ ЭВМ, а также в некоторых мини и микроЭВМ, например PDP-11, используются 2 формата: с обычной точностью (4 байта) и с двойной точностью (8 байт). Особенностями нормальной формы в СМ ЭВМ являются следующие:

l Смещение числовой оси порядков в область положительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака.

В СМ ЭВМ во всех форматах 8 разрядов отводится под значение порядка и его знак. Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне
-2⁷ ≤ p ≤ 2⁷-1 или -128 ≤ p ≤ 127.

Смещенный порядок определяется смещением порядка на
+2⁷ = 128₁₀ = 80₁₆, т.е. p_х = p + 80₁₆ не имеет знака.

Смещенный порядок может принимать значения в диапазоне
0 ≤ p_х ≤ 255₁₀ = FF₁₆, и под его значение отводятся все 8 разрядов.

Очевидно, если p_х = 80₁₆,то p = 0, если p_х < 80₁₆,то порядок отрицательный (p < 0), при p _х > 80₁₆ – порядок положительный (p > 0).

l В СМ ЭВМ старшая 2-ичная цифра нормализованной мантиссы должна быть 1. Это позволяет не хранить её, а только предполагать её наличие. Такое представление как бы увеличивает разрядность мантиссы (т.е. в операциях участвуют 24 (для чисел одинарной точности) и 56 разрядов (для чисел двойной точности)) а значит и точность расчетов.

В IBM PC (с процессором Intel 80x86) используется почти общепринятый американский IEEE-стандарт двоичной арифметики чисел с плавающей точкой (Institute of Electrical and Electronic Engineers – стандарт института инженеров по электротехнике и электронике).

IEEE-арифметика предусматривает два формата с плавающей точкой:

· обычной точности (короткое вещественное, КВ, single). Длина 4 байта, смещенный порядок занимает 8 бит, мантисса – 23 бита;

· двойной точности (длинное вещественное, ДВ, двойное слово, double). Длина 8 байтов, смещенный порядок занимает 11 бит, мантисса – 52 бита.

Кроме того, в IBM PC используется также третий формат:

l повышенной точности (временное вещественное, ВВ, расширенное слово, extended). Длина 10 байтов, смещенный порядок занимает 15 бит, мантисса – 64 бита.

Эти форматы имеют следующие особенности:

1) Мантисса всегда записывается в виде: ±(1+M). Т.е. у записи мантиссы есть целая часть, всегда равная 1. В форматах КВ и ДВ эта единица прямо в мантиссе не представляется, а учитывается неявно при выполнении операций. В формате ВВ старший бит мантиссы представляется явно.

2) Порядок записывается в смещенном виде, однако величина смещения в разных форматах разная:

l в КВ – 2⁷ – 1 = 127₁₀ = 7F₁₆,

l в ДВ – 2¹⁰ – 1 = 1023₁₀ = 3FF₁₆,

l в ВВ – 2¹⁴ – 1 = 16383₁₀ = 3FFF₁₆.

Таким образом, возможные значения смещенного порядка лежат в пределах:

l в КВ – 0 ≤ p_х ≤ 254₁₀ = FE₁₆,

l в ДВ – 0 ≤ p_х ≤ 2046₁₀ = 7FE₁₆,

l в ВВ – 0 ≤ p_х ≤ 32766₁₀ = 7FFE₁₆.

Формат КВ (как и формат обычной точности в СМ ЭВМ) позволяет представить максимальное число ≈10³⁸, формат ДВ уже ≈10³⁰⁸, а формат ВВ ≈10⁴⁹³². Точность представления чисел приближенно соответствует:

l в КВ – 7-8 значащих десятичных цифр,

l в ДВ – 15-16 значащих десятичных цифр,

l в ВВ – 19-20 значащих десятичных цифр.

Дата добавления: 2015-04-24