Момент инерции тела относительно оси

Твердое тело в механике

Условие равновесия твердого тела. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. Отсюда вытекает 2 условия равновесия твердого тела: 1) F1+…+Fn = 0 – тело не движется поступательно; 2) M1 +… Mk= 0 – тело не вращается.

Моментом инерции матерьяльной точки относительно оси называется величина J = m r (ст.2). Где r – расстояние от точки до оси вращения.

Wk = m*v*v / 2. Если тело состоит из нескольких матерьяльных точек, то момент его инерции будет равен сумме моментов инерций этих точек. Эта формула справедлива для дискретного распределения масс. В случае непрерывного распределения масс J = (интеграл) v (ст.2) dm.

Момент инерции сплошного диска: (рисунок – диск, толщина h; радиус R; r – половина радиуса, проведена двойная окружность; диск крутится)

d J = r (ст.2) dm; Площадь кольца: dS = 2ПИ r dr; dV = rds = 2ПИrhdr

dm = ПЛОТНОСТЬ * dV = 2ПИ p h r dr; p – плотность.

d J = 2ПИph r (ст.3) dr; J = (интеграл 0 - R) 2ПИph r (ст.3) dr = 2ПИph *

* r (ст.4) / 4 | 0-R = 1/2 ПИ R (ст.2) ph R (ст.2); m = ПИ R(ст.2) ph;

J=1/2 m R (ст.2)

Момент инерции стержня. (рисунок – стержень, ось O, слева расстояние до оси = a, справа тоже расстояние = r, еще такое же расстояние как r вправо дает вместе dr; l – расстояние вниз от центра пересечения оси и стержня). dm = (m / l) * dr; d J = r (ст.2)*dr; J = (m / 3l) ((l-a)(ст.3) +a(ст.3))

Если a =0, то J = 1/3 m l (ст.2)

Теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен массе тела, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения до центромасс тела, плюс момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его ось центромасс.

J = ma (ст.2) + J нулевое; r i = a + Ri; mi ri (ст.2) = mi (a - Ri) (ст.2) = mi (a (ст.2) + 2aRi + Ri (ст.2)) = a (ст.2)mi + mi Ri (ст.2) + 2amiRi; J=сумма(miri²)

Теорема Штейнера J = ma (ст.2) + J центромасс.

Вращательный момент. Моментом силы M называется величина M=r *F

(* - скалярное произведение, все значения векторные) r – радиус-вектор, F – сила; r *sinАЛЬФА = l; M = r F sinАЛЬФА = r sinАЛЬФА F = F l

(рисунок – вектор M вверх; вектор r чуть выше места, где по идее должна быть ось OX; на 90 градусов от r от M проходит из той же точки прямая L; векотор F скрещивается с r под углом АЛЬФА).

Основное уравнение динамики вращательного движения. Wk = 1/2 J * w(ст.2); dWk = 1/2 J 2w dw = Jwdw; dWk = dA; M dФИ = Jwdw;

M dФИ/dt = Jw dw/dt; w = dФИ/dt; E = dw/dt; M w = J w E; M = J E (M,E - вектора). Основное уравнение динамики вращательного движения. Это аналог 2го закона Ньютона для вращательного движения. (F-M, m-J, a-E).

Кинетическая энергия катящегося тела. При вращательном движении катящегося тела каждая точка участвует в 2х движениях – поступательном и вращательном. Скорость поступательного движения всех точек колеса одинакова и равна скорости поступательного движения колеса в целом.

mi vi (ст.2) / 2; vi (ст.2) = v пост. (ст.2) + vi вращ. (ст.2); v вращ. = wRi;

mi vi (ст.2) / 2 = 1/2 mi v пост. (ст.2) + 1/2 mi w (ст.2) Ri (ст.2);

Wk = сумма (mi vi (ст.2) / 2) = 1/2 v пост (ст.2) СУММА(mi) + 1/2 w(ст.2) СУММА(mi Ri (ст.2)); Wk = 1/2 m v пост. (ст.2) + 1/2 J w (ст.2)

Работа при вращательном движении. dA = Fds = F sinАЛЬФА ds = F r sinАЛЬФА dФИ; ds = r dФИ; ds = r dФИ; dA = M dФИ; ФИ – угол поворота при повороте на большой угол. A=(интеграл ФИ1-ФИ2) M dФИ

Для матерьяльных точек Wk = 1/2 mv(ст.2) = 1/2 m r (ст.2) w (ст.2) =

1/2 J w (ст.2); v = w r; Wk = 1/2 J w (ст.2)

Дата добавления: 2015-04-24