Статистические распределения

Вероятность флуктуаций. Пусть имеется совокупность из очень большого числа одинаковых частиц, находящихся в равновесном состоянии. Это равновесное состояние характеризуется определенным значением давления среднеквадратичной скорости и т.д., однако за счет того, что молекулы хаотически двигаются и соударяются между собой возникает случайное отклонение мгновенных значений этих величин от их средних значений. Эти случайные отклонения называются флуктуациями. Флуктуации обусловлены тепловым движением частиц. Чем больше частиц в системе, тем меньше флуктуации. Отношение флуктуаций: δ = delta L / L;

Можно показать, что в химически однородном идеальном газе относительные флуктуации плотности, давления, температуры, и все это равно = 1 / (корень N); Pi = vi / N – вероятность Pi равна отношению – число частиц имеющих значение x=xi, где x – некоторая величина, характеризующая эту частицу (например скорость). Эта вероятность Pi характеризует вероятность того, что частица будет иметь значение v = Pi;

<x> = (сумма) Ni xi / N = (сумма) Pi xi; <x> = (сумма) Pi xi; Pi описывает вероятность того, что значение x=xi; В случае непрерывного распределения значений некоторой величины x можно ввести понятие функции распределения вероятности f (x), которая называется плотностью вероятности. dN (x) / N = f (x) dx. С помощью этой функции распределения можно расчитать среднее значение величин: <x> = (интеграл) x f (x) dx;

Скорости теплового движения частиц. Распределение частиц по абсолютным значениям скорости. Распределение максимумов.

Согласно молекулярно-кинетической теории – как бы не изменялись скорости отдельных частиц, средняя квадратичная скорость молекулы остается постоянной и равна v_кв= (корень) 3kT / m0 = (корень) 3RT / μ; Это объясняется тем, что в газе, находящимся в состоянии термодинамического равновесия, устанавливается некоторое стационарное, независящее от времени, распределение молекул по скоростям.

Закон распределения молекул по скоростям впервые был выведен Максвелом. При выводе этого закона предполагалось, что газ состоит из состоит из очень большого числа частиц N, которые находятся в состоянии хаотического теплового движения, предполагалось, что никакие силовые поля на частицы газа не действуют. Закон Максвела описывает некоторую функцию, называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить весь диапозон скоростей на малые интервалы dv, то относительное число молекул, обладающих скоростями, заключенными в этом интервале будет: dN (v) / N = f (v) dv; f (v) = dN(v) / dv N; Функция распределения молекул по абсолютным значениям скорости, полученная Максвелом: f (v) = 4ПИ (m0 / 2ПИ kT) (ст.3/2) v (ст.2) e (ст. – mv / 2kT);

Наибольшая величина скорости: v = (корень) 3kT / m0 = (корень) 3RT / μ; Среднее значение скорости молекул может быть расчитано по формуле

<v> = (корень) 8RT / ПИ μ

Средняя кинетическая энергия частиц. df (v) / N = f (v) dv; Кинетическая энергия одной частицы: E = m0 v (ст.2) / 2; v = (корень) 2E / m0;

Формула распределения частиц по энергии: f (E)= (-2 / [корень] ПИ) (k T (ст. – 3 /2) [корень E] e (ст. – E / fT)); С помощью этой формулы можно расчитать кинетическую энергию частиц: <E> = (интеграл 0 - беск) 2 f (E) dE = (3/2) kT;

Распределения Больцмана. Основное уравнение МКТ и максвелские распределения молекул по скорости были получены предположением, что молекулы равномерно распределены по объему и все направления движения молекул равномерно распределены по объему и все направления движения молекул равновероятны. Такие условия могут быть реализованы только в том случае, если на молекулы не действуют никакие внешние силовые поля. Однако молекулы любого газа в земных условиях находятся в потенциальном гравитационном поле Земли, что приводит к нарушению равномерного распределения молекул по объему. P = pgh – давление в жидкости; dP = - pgdh – т.к. с увеличением высоты давление уменьшается.

PV = mRT / μ => p = m / V = Pμ / RT; dP = - Pμ g dh / RT = P m0 g dh / kT; dP/ P = - m0 g dh / kT; Проинтегрируем это выражение:

(интеграл P0 - P) dP / P = - (m0 g / kT) (интеграл 0 - h) dh; ln (P / P0) = - (m0 gh / kT); P = R0 e (ст. m0 gh / kT); P = P0 e (ст. – μ n / RT); Это выражение описывает распределение частиц по высоте в гравитационном поле. m0 gh = Wп, поэтому n = n0 e (ст. – Wп / kT). Это и есть распределения Больцмана. Оно описывает распределение частиц по высоте в гравитационном поле, а не только в гравитационном поле Земли. Это распределение приемлемо к частицам, находящимся в состоянии заотического теплового движения.

Дата добавления: 2015-04-24