Средняя и предельная ошибки выборки. Расчет доверительного интервала выборки

Выборочную совокупность можно сформировать по количественному признаку статистических величин, а также по альтернативному или атрибутивному. В первом случае обобщающей характеристикой выборки служит выборочная средняя величина, обозначаемая , а во втором — выборочная доля величин, обозначаемая w. В генеральной совокупности соответственно: генеральная средняя и генеральная доля р.

Разности — и W — р называются ошибкой выборки, которая делится на ошибку регистрации и ошибку репрезентативности. Первая часть ошибки выборки возникает из-за неправильных или неточных сведений по причинам непонимания существа вопроса, невнимательности регистратора при заполнении анкет, формуляров и т.п. Она достаточно легко обнаруживается и устраняется. Вторая часть ошибки возникает из-за постоянного или спонтанного несоблюдения принципа случайности отбора. Ее трудно обнаружить и устранить, она гораздо больше первой и потому ей уделяется основное внимание.

Величина ошибки выборки может быть разной для разных выборок из одной генеральной совокупности, поэтому в статистике определяется средняя ошибка повторной и бесповторной выборки по формулам:

- повторная;

- бесповторная;

где Дв — выборочная дисперсия.

Например, на заводе с численностью работников 1000 чел. проведена 5%-ая случайная бесповторная выборка с целью определения среднего стажа работников. Результаты выборочного наблюдения приведены в первых двух столбцах следующей таблицы:

X, лет (стаж работы)	f, чел. (число работников в выборке)	X и	X и f
до 1		0,5	3,5	38,987
1-2		1,5	12,0	14,797
2-3		2,5	25,0	1,296
3-4		3,5	45,5	5,325
4-5		4,5	40,5	24,206
более 5		5,5	16,5	20,909
Итого			143,0	105,520

В 3-м столбце определены середины интервалов X (как полусумма нижней и верхней границ интервала), а в 4-м столбце - произведения X_Иf для нахождения выборочной средней по формуле средней арифметической взвешенной:

= 143,0/50 = 2,86 (года).

Рассчитаем выборочную дисперсию взвешенную:
= 105,520/50 = 2,110.

Теперь найдем среднюю ошибку бесповторной выборки:
= 0,200 (лет).

Из формул средних ошибок выборки видно, что ошибка меньше при бесповторной выборке, и, как доказано в теории вероятностей, она возникает с вероятностью 0,683 (то есть если провести 1000 выборок из одной генеральной совокупности, то в 683 из них ошибка не превзойдет средней ошибки выборки). Такая вероятность (0,683) является невысокой, поэтому она мало пригодна для практических расчетов, где нужна более высокая вероятность. Чтобы определить ошибку выборки с более высокой, чем 0,683 вероятностью, рассчитывают предельную ошибку выборки:

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.

Значения коэффициента доверия t рассчитаны для разных вероятностей и имеются в специальных таблицах (интеграл Лапласа), из которых в статистике широко применяются следующие сочетания:

Вероятность	0,683	0,866	0,950	0,954	0,988	0,990	0,997	0,999
t		1,5	1,96		2,5	2,58		3,5

Задавшись конкретным уровнем вероятности, выбирают из таблицы соответствующую ей величину t и определяют предельную ошибку выборки по формуле.
При этом чаще всего применяют = 0,95 и t = 1,96, то есть считают, что с вероятностью 95% предельная ошибка выборки в 1,96 раза больше средней. Такая вероятность (0,95) считается стандартной и применяется по умолчанию в расчетах.

В нашем примере про средний стаж работников, определим предельную ошибку выборки при стандартной 95%-ой вероятности (из таблицы берем t = 1,96 для 95%-ой вероятности): = 1,96*0,200 = 0,392 (года).

После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности. Такой интервал для генеральной средней величины имеет вид

а для генеральной доли аналогично:

.
Следовательно, при выборочном наблюдении определяется не одно, точное значение обобщающей характеристики генеральной совокупности, а лишь ее доверительный интервал с заданным уровнем вероятности. И это серьезный недостаток выборочного метода статистики.

В нашем примере про средний стаж работников, определим доверительный интервал генеральной средней - среднего стажа работников:
2,86 - 0,392 2,86 + 0,392 или 2,468 лет 3,252 лет.
То есть средний стаж работников на всем заводе лежит в интервале от 2,468 года до 3,252 года.

Дата добавления: 2015-04-24