Частные и множественные коэффициенты корреляции

Экономические явления чаще всего адекватно описываются многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить рассмотренную выше двумерную корреляционную модель на случай нескольких переменных.

Пусть имеется совокупность случайных переменных Х\,Х2,..., Х„...,А),..., Хр, имеющих совместное нормальное распределение. В этом случае матрицу

составленную из парных коэффициентов корреляции />/, (/, }- 1, 2,..., р), определяемых по формуле (9.2), будем называть корреляционной. Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке орреляционной матрицы Ор по выборке. Эта задача решается определением матрицы выборочных коэффициентов корреляции:

где (i, = 1,2,..., р) определяется по формуле (12.30) или ее модификациям.

Множественный коэффициент корреляции. Теснота линейной взаимосвязи одной переменной X, с совокупностью других (р — 1) переменных X, рассматриваемой в целом, измеряется с помощью множественного (или совокупного) коэффициента корреляции р,.,2 р, который является обобщением, парного коэффициента корреляции р0. Выборочный множественный, или совокупный, коэффициент корреляции КП2---р, являющийся оценкой может быть вычислен по формуле:

где ρ — определитель матрицы;

В частности, в случае трех переменных (р - 3) и (12.67) следует, что

Множественный коэффициент корреляции заключен в пределах 0 < R < 1. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.

С помощью множественного коэффициента корреляции делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R2, называемая выборочным множественным (или совокупным) коэффициентом детерминации, показывает, какую долю вариации исследуемой переменной объясняет вариация остальных переменных.

Можно показать, что множественный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если значение статистики

Частный коэффициент корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине парного коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких других переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными X/ и Л/ при фиксированных значениях остальных (р — 2) переменных называется выражение

Дата добавления: 2015-04-24