Теорема о сходимости метода Ньютона

Метод касательных. Метод хорд. Оценка приближения.

Метод Ньютона (метод касательных)

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню x^(n+1) есть точка пересечения с осью ОХ касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке (x^(n), f(x^(n))).

Пусть простой корень уравнения f(x)=0, в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая σ - окрестность корня , что при произвольном выборе

начального приближения x^(0) из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

Критерий окончания итерационного процесса: при заданной точности  > 0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

Как указано в теореме, метод Ньютона обладает локальной сходимостью, то есть областью его сходимости является малая окрестность корня . Неудачный выбор может дать расходящуюся итерационную последовательность.

Дата добавления: 2015-04-24