Линейная зависимость векторов. Базис

Линейная комбинация – вектор, определяемый по формуле

Линейная зависимость – если существуют действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что . Если таких чисел нет, то векторы линейно независимы.

Утверждения:

Векторы зависимы только тогда, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Векторы зависимы только если они коллинеарные.

Если a и b – неколлинеарные векторы одной плоскости, то любой третий вектор c той же плоскости можно представить в виде линейной комбинации векторов. Т.е. c = xa + yb.

Теорема:

Для того чтобы три вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Базис:

Три упорядоченных линейно независимых вектора называются базисом в пространстве.

Теорема:

Любой вектор a в пространстве может быть разложен по базису e1, e2, e3, то есть может быть представлен в виде a = xe1 + ye2 + ze3. (x y z – координаты вектора a в базисе)

Базис ортонормированный, если составляющие его векторы перпендикулярны и имеют единичную длину.

Дата добавления: 2015-04-24