Проективная плоскость. Координатный метод, особенности описания точек, прямых линий 2-го порядка. Гармноическое сопряжение точек

Рассмотрим в евклидовом пространстве Е₃ 2 плоскости p и s и т.О, не лежащую в этих плоскостях.

Пусть М – произвольная т. плоскости p. Точка М¢ пересечения прямой ОМ с плоскостью s называется проекцией т.М на плоскость s (из центра О).

Точке М плоскости p поставим в соответствие ее проекцию М¢ на плоскость s из центра О. Т.о., устанавливается соответствие между точками плоскостей p и s, которое называется центральным проектированием плоскости p на плоскость s из т.О.

Пусть s - проективная плоскость.

Упорядоченную систему точек А₁, А₂, А₃, Е общего положения (т.е. никакие 3 не лежат на одной прямой) плоскости s называют проективным репером или проективной системой координат на плоскости и обозначают так: R=(А₁, А₂, А₃, Е).

Если векторы а₁, а₂, а₃ и е, порождающие вершины и единичную точку проективного репера R, выбраны так, что е = а₁ + а₂ + а₃, то будем говорить, что система векторов а₁, а₂, а₃, е согласована относительно репера R.

Пусть Х – произвольная точка плоскости s, на которой задан проективный репер R = (А₁, А₂, А₃, Е).

Рассмотрим какой-нибудь вектор х, порождающий т.Х, и систему векторов а₁, а₂, а₃, е, согласованную относительно репера R.

Примем векторы а₁, а₂, а₃ за базис трехмерного векторного пространства V, порождающего плоскость s, и разложим вектор х по этому базису: х=х₁а₁ + х₂а₂ +х₃а₃. Числа х₁, х₂, х₃ называются проективными координатами точки Х в репере R.

Пусть на проективной плоскости выбран репер R и в этом репере известны координаты 2 точек А(а₁, а₂, а₃) и В(b₁, b₂, b₃) данной прямой d. Точка М(х₁, х₂, х₃) лежит на этой прямой Û

х₁ а₁ b₁

x₂ a₂ b₂ =0.

x₃ a₃ b₃

Это и есть уравнение прямой d. Разложив по элементам 1 столбца определитель, получим: u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = 0, где

u₁ = a₂ b₂ u₂ = a₃ b₃ u₃ = a₁ b₁

a₃ b₃ a₁ b₁ a₂ b₂

Если прямая d в репере R задана таким уравнением, то коэффициенты u₁, u₂, u₃ называются координатами прямой d.

Принцип двойственности на плоскости: если справедливо утверждение D, в котором говорится о точках, прямых на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то справедливо и т.н. двойственное предложение D*, которое получается из D заменой слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».

Рассмотрим на проективной прямой 4 точки A, B, C, D. Будем говорить, что пара точек А и В гармонически разделяет пару точек С, D (или гармонически сопряжена), если (АВ, СD) = -1.

Множество всех точек проективной плоскости, плоскости, координаты которых в некотором репере R удовлетворяют однородному уравнению 2 степени, т.е. уравнению вида а₁₁х₁² + 2а₁₂х₁х₂ + а₂₂х₂² + 2а₁₃х₁х₃ + 2а₂₃х₂х₃ + а₃₃х₃² = 0, называется линией или кривой 2 порядка.

(продолжение вопроса 4). Особенности плоскости Лобачевского. Метрика. Модели плоскости.

В течении всей проф. деятельности Лобачевский попытался доказать 5 постулат Евклида. Он пришел к выводу, что 5 постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы доказать это, он построил логическую систему, в которой сохранил основные посылки Евклида, он отвергает 5 постулат и заменяет его противоположным допущением. 5*:

Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой, тогда в плоскости, определяемой т.А и пр.а, существует не менее 2 прямых, проходящих через т.А и не пересекающих пр.а.

Пр.АВ называется параллельной пр.СD, если эти пр. не имеют общих точек и каковы бы ни были т. Р и Q, лежащие соответственно на пр.АВ и СD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD.

Признак параллельности прямых: если пр.АВ и СD не имеют общих точек и $ т.Р и Q такие, что РÎАВ, а QÎCD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Признак $ параллельных прямых: пусть АВ – произвольно направленная пр., М – т., не лежащая на ней, тогда в плоскости МАВ $ 1 и только 1 пр.CD, которая проходит через т.М и параллельна пр.АВ.

Теорема: сумма углов треугольника < 180⁰. Теорема: сумма углов четырехугольника < 360⁰.

Теорема: Если 3 угла 1 D равны соответственно 3 углам другого D, то эти D равны.

Лемма: Если пр. АВ||CD, то $ ось симметрии пр.АВ и CD. Теорема: Если АВ||CD, то CD||АВ. Теорема: если АВ||CD и CD||EF, то АВ||EF.

2 прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Расходящиеся пр. неограниченно удаляются друг от друга по мере удаления от их общего ^, а параллельные пр. неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении асимптотически приближаются в другом.

МЕТРИКА. В геометрии Лобачевского величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от т. до данной пр., т.е. $ зависимость, между угловыми и линейными величинами.

В геометрии Евклида $ абсолютные константы угловых величин, например радиан. В то время, как линейных констант не $. Для того, чтобы выразить длину отрезка числом, выбирается какой-то масштаб. В противоположность этому в геометрии Л., имея естественную 1 измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы измерения длины.

МОДЕЛИ. 1. модель на псевдосфере (это поверхность вращения трактрисы вокруг ее асимптоты).

2. модель Бельтами-Клейна (или модель в круге).

3. модель Пуанкаре: роль плоскости играет открытая полуплоскость, роль пр. – полуокружности и перпендик.пр.

Дата добавления: 2015-04-24