Правильные многогранники нулевого рода. Группы симметрии взаимных многогранников

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, удовлетворяющих след. условиям:

1) никакие 2 смежных многоугольника не лежат в одной плоскости, 2) объединение всех многоугольников является двумерным многообразием.

Родом многогранника называется род его поверхности. Тетраэдр – многогранник нулевого рода.

Многогранники нулевого рода, грани которых являются клетками, называются также простыми.

Тетраэдр и куб – простые многогранники.

Простой многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранны углы – 1 и то же число граней. Топологически правильные многогранники – любой тетраэдр и любой параллелепипед.

Пусть F – топологически прав.многогранник.

Обозначим через n число вершин каждой грани, через g – число граней каждого его многогранного угла, а через a₀, a₁, a₂ соответственно число вершин, ребер и граней.

Каждое ребро многогранника F является общей стороной 2 его граней, а каждая грань содержит n ребер. Поэтому: na₂ = 2a₁. Каждая вершина многогранника F является общим концом g ребер. Значит ga₀ = 2a₁.

По теореме Эйлера: a₀+a₂ = a₁ + 2. Подставив сюда значения a₀ и a₂, получаем: 1/g + 1/n = ½ + 1/a₁. Þ 1/g + 1/n > 2.

Т.к. g³3 и n³3, то получаем: 1/g>1/2 – 1/n³1/2 – 1/3 = 1/6 Þ g<6. Аналогично получаем n<6. Т.о., g и n могут принимать значения 3,4 и 5.

Возможны след.комб.: 1) g=n=3, 2) g=3, n=4, 3) g=3, n=5, 4) g=4, n=3, 5) g=5, n=3. Мы доказали, что $ не более 5 типов прав. многогр.: тетраэдр, гексаэдр, додекаэдр, октаэдр, икосаэдр.

Пусть F – произвольная фигура.

Множество D_F всех движений пространства, переводящих F в себя, является группой.

Если группа D_F содержит более одного элемента, то она называется группой симметрии фигуры F, а элементы этой группы называются преобразованиями симметрии или просто симметриями фигуры F. Точка О называется центром симметрии фигуры F, если эта фигура переходит в себя в центральной симметрии относительно т.О. Плоскость s называется плоскостью симметрии фигуры F, если эта фигура переходит в себя в симметрии относительно плоскости s. Прямая d называется осью симметрии порядка n фигуры F, если фигура F переходит в себя при повороте вокруг прямой d на угол 2p/n, где n – натуральное число и n≥2.

Прямая d называется зеркально-поворотной осью порядка 2n фигуры F, если эта фигура переходит в себя при поворотном отражении с осью d и наименьшим по абсолютному значению углом p/n=2p/2n, где n – натуральное число и n≥2.

Элементами симметрии фигуры F называются ее центры симметрии, плоскости симметрии, оси симметрии и зеркально-поворотные оси.

Дата добавления: 2015-04-24