Вектор. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов

Вычитание векторов

Сложение векторов

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

• Вектор А - Киев-Москва
• Вектор В - Москва-Львов
• Вектор С - Киев-Львов

С = А+В, где С - сумма векторов или результирующий вектор

В начало страницы

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

• Вектор А = С-В
• Вектор В = С-А

23вопрос:

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно обозначить a,

__

Нулевой вектор 0 или 0 -это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0.

Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |. В частности, | 0 | = 0.

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b.

Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что

__ __

a = AB and b = CD,

тогда вектор __ __

a + b = AB + CD

есть результат выполнения двух операций:

a) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б) геометрического сложения, т.е.построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + (– b).

Законы сложения.

I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).

II. (a + b) + c = a + (b + c) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).

III. a + 0= a.

IV. a + (– a) = 0.

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a,0 · a = 0, m · 0 = 0, (– 1) · a = – a.

II. m a = a m, | m a | = | m | · | a |.

III. m (n a) = (m n) a. (С о ч е т а т е л ь н ы й

закон умножения на число).

IV. (m + n) a = m a + n a, (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m (a + b)= m a + m b. закон умножения на число).

Скалярное произведение векторов. __ __

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:

(a, 0) = (0, b) = 0.

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение (a, a), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно, если угол между векторами острый;

- отрицательно, если угол между векторами тупой.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a, b, c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I. (a, b) = (b, a). (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)

II. (m a, b) = m (a, b).

III. (a + b, c) = (a, c) + (b, c). (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Рисунок 9.2.1

На рисунке 9.2.1 векторы и компланарны, так как, если отложить от точки C вектор то все три вектора и окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ACD.

24вопрос:

Дата добавления: 2015-04-24