Статистическая проверка гипотезы о соответствии данных вариационного ряда некоторой теоретической функции распределения

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н ₀.
Конкурирующий (альтернативной) называют гипотезу Н ₁, которая противоречит нулевой гипотезе. В итоге проверки гипотезы могут быть совершены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости равный 0,05, то это означает, что в среднем в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Величина 1 – β называется мощностью критерия.
Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы. Его значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой». Критерий, будучи величиной случайной в силу случайности выборки x ₁, x ₂, …, x_n, подчиняется при выполнении гипотезы Н ₀ некоторому известному, затабулированному закону распределения.
Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения входящих в критерий величин, и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.
Наблюдаемым (эмпирическим) значением К _набл. называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.
После выбора определенного критерия, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Критическими точками (границами) k _кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K > k _кр, где k _кр – положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k _кр, где k _кр – отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < k ₁, К > k ₂, где k ₂ > k ₁ .
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что k _кр > 0):
К < – k _кр , К > k _кр ,
или равносильным неравенством | K |> k _кр.
Для отыскания, например, правосторонней критической области поступают следующим образом. Сначала задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости α. Затем ищут критическую точку k _кр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, больше k _кр., была равна принятому уровню значимости:
Р(К > k _кр) = α.
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что К _набл > k _кр, то нулевую гипотезу отвергают; если же К _набл< k _кр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Но это вовсе не означает, что Н ₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и гипотезой Н ₀ невелико, или иначе Н ₀ не противоречит результатам наблюдений; однако таким же свойством наряду с Н ₀ могут обладать и другие гипотезы.
Методы, которые для каждой выборки формально точно определяют, удовлетворяют выборочные данные нулевой гипотезе или нет, называются критериями значимости.
Критерии значимости подразделяются на три типа:
1. Критерии значимости, которые служат для проверки гипотез о параметрах распределений генеральной совокупности (чаще всего нормального распределения). Эти критерии называются параметрическими.
2. Критерии, которые для проверки гипотез не используют предположений о распределении генеральной совокупности. Эти критерии не требуют знаний параметров распределения, поэтому называются непараметрическими.
3. Особую группу критериев составляют критерии согласия, служащие для проверки гипотез о согласии распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка, с ранее принятой теоретической моделью (чаще всего нормальным распределением).

Дата добавления: 2015-04-24