Неравенство Чебышева

Рассмотрим ДСВ Х с математическим ожиданием M(Х) и дисперсией Д(Х). Оценим вероятность того, что Х примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию M(Х)

Неравенство Чебышева. Вероятность того, отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем

Доказательство: Задано распределение ДСВ Х:

xi	х1	х2	…	хn
pi	p1	p2		pn

Тогда ряд распределения случайной величины ½ Х-М(Х) ½

xi – М(Х)	х1 – М(Х)	х2 – М(Х)	…	хn – М(Х)
pi	p1	p2		pn

Так как события ½ Х-М(Х) ½ <e и ½ Х-М(Х) ½ ≥ e противоположны, то

P (½ Х-М(Х) ½ <e) =1 - P (½ Х-М(Х) ½ ≥ e) (à)

Напишем выражение дисперсии ДСВ Х:

Отбросим те слагаемые, у которых ½ х_i - М(Х) ½< e (для оставшихся слагаемых

½ х_j - М(Х) ½³ e), вследствие чего сумма может только уменьшиться:

Þ

По теореме сложения сумма есть вероятность того, что Х примет одно из значений x_k+1, x_k+2, …, x_n,а при любом из нихотклонение удовлетворяет неравенству

Отсюда следует, что сумма выражает вероятность

Следовательно,

,

или

(àà)

Подставляя (àà) в (à), окончательно получаем:

¢

Замечание: Неравенство Чебышева справедливо и для непрерывных случайных величин, речь о которых пойдёт ниже.

Дата добавления: 2015-05-08