Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n,… имеет конечные математические ожидания и дисперсии не превышают числа С, то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е.

Доказательство:

Рассмотрим новую случайную величину: – среднее арифметическое последовательности случайных величин.

По условию теоремы Д(Х_i) £ С, поэтому

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Перейдём к пределу при n ® ¥.

¢

Из теоремы Чебышева следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, утрачивает случайный характер и становится детерминированной величиной.

Замечание: Теорема Чебышева справедлива и для непрерывных случайных величин.

Дата добавления: 2015-05-08