Лінійна апроксимація

Апроксимація

Апроксимація – це інтерполяція, наближена в вузлах, що дозволяє згладити неточності початкових даних, і таким чином, підвищити достовірність одержаної моделі.

Система MathCAD має ряд вбудованих функцій, що дозво-

ляють розв’язати задачу апроксимації. Такими функціями є такі функції:

Ø сукупність функцій slope та intercept, що дозволяє розв’язати задачі лінійної апроксимації;

Ø interp – поліноміальна апроксимація;

Ø linfit – апроксимація лінійною комбінацією функ-

цій;

Ø genfit – апроксимація нелінійними функціями.

Розглянемо технологію розв’язку задач апроксимації за допомогою перелічених функцій та наведемо приклади.

b

a

 

 

 

Функції slope та intercept розв’язують задачі лінійної ап-

роксимації, визначають коефіцієнти a та b функції що подана у вигляді таблиці.

s

 

 

Розв’язок має такий вигляд:

y x,

b:

i

a:

де Vx, Vy

lope (Vx, Vy),

nt ercept (Vx, Vy),

– вектори аргумента та функції відповідно.

Приклад 14.3 У результаті дослідження були одержані да- ні, які наведені у таблиці 14.3.

Таблиця 14.3 – Дані дослідження

X
Y	0,29	0,44	0,55	0,62	0,67	0,7

Необхідно розв’язати задачу лінійної апроксимації, вико-

ристовуючи функції MathCAD slope та intercept.

Вибір виду функції інтерполяції.

 

Переконаємося, що функція інтерполяції є лінійною. Ско- ристаємося графоаналітичним методом. На рис. 14.18. наведена

залежність

y f (x), що побудована за даними таблиці 14.3.

 

З графіка видно, що функція

y f (x)

нелінійна і задача

сформульована так, що необхідні додаткові дії, щоб привести її до лінійного вигляду.

Порівняємо одержаний графік з графіками типових функ- цій і побачимо, що функцією інтерполяції може бути дробово -

b

x

a

 

 

 

 

 

лінійна

y /(a

x) або степенна

y x d. Вони обидві мо-

жуть бути лінеаризовані та представлені у вигляді таких ліній- них функцій:

b

a

d

c

x

l

 

 

 

Y 1 x;

Y 2 X, де

Y 1 / y;

Y 2 n y;

l

l

X n x; c n a

Рисунок 14.18 – Графік функції для прикладу 4.3

Значення лінеаризованих аргументів і функцій наведені в таблиці

Таблиця – Таблиця ліниаризованих дробово-лінійної та степеневої функцій

x
y	0.29	0.44	0.55	0.62	0.67	0.7
X		0.69	1.1	1.39	1.61	1.79
Y1	3.45	4.55	5.45	6.45	7.46	8.57
Y2	-1.24	-0.82	-0.6	-0.48	-0.4	-0.36

Тепер можна розв’язати задачу лінійної апроксимації за

допомогою функцій slope та intercept.

b

 

 

 

Випадок 1. Дробово-лінійна функція y x.

a x

У цьому випадку лінеаризована функція має вигляд

b

a

Y 1 x. Тоді розв’язок буде мати вигляд, що зображений

на рис.

 

Рисунок– Розв’язок для дробово-лінійної функції ін- терполяції

 

 

дуть:

Таким чином, коефіцієнтами дробово-лінійної функції бу-

a. 45;

b. 009, а функція інтерполяції буде мати вигляд:

x

 

 

 

y x

2.5

a

Випадок 2. Степенна функція y x d

У цьому випадку лінеаризована функція має вигляд:

d

c

Y 2 X. Тоді розв’язок буде мати вигляд, що поданий на

l

 

 

 

 

 

рис. 14.20. Але так як c n a, то a ec

e. 197

.302.

a

 

 

 

Таким чином, коефіцієнтами степенної функції

y x d

 

будуть

a. 3;

d. 5, а функція буде мати вигляд

y. 3

x 0.5

чи y

 

 

0.3

 

x.

 

 

Рисунок– Розв’язок для степенної функції

Результати табулювання функцій наведені в таблиці 14.5.

Таблиця – Значення результатів лінійної апрокси- мації

x
y	0.29	0.44	0.55	0.62	0.67	0.7
φ1	0.286	0.444	0.545	0.615	0.667	0.706
φ 2	0.3	0.424	0.52	0.6	0.671	0.735

У таблиці введені такі позначення:

Ø x, y – вхідні значення аргумента та функції;

Ø φ1 – значення дробово-лінійної апроксимації;

Øφ2 – значення степенної функції апроксимації.

Таким чином, видно, що найбільш кращою є дробово- лінійна функція. Похибки обох функцій малі, тому немає потре- би їх розраховувати.

Дата добавления: 2015-05-24