Замикання і його властивості

Означення 2.1. Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.

Замикання множини будемо позначати .

З означення ми бачимо, що , де - похідна множини .

Теорема 2.1. Замикання множини має наступні властивості:

1) ;

2) , тобто замикання множини співпадає з самим замиканням;

3)якщо і - множини метричного простору Х і , то ;

4)якщо і - множини метричного простору Х, то .

Доведення. 1)Включення очевидне.

2)Доведемо, що

(2.1).

Перш за все замітимо, що на основі властивості 1),

(2.2).

Покажемо протилежне включення:

(2.3).

Нехай . Візьмемо довільний -окіл, , точки . В цьому околі є хоча б одна точка з . Позначимо її . Візьмемо і розглянемо -окіл, , точки . Оскільки для будь-якої точки х з цього околу виконується нерівність:

,

то робимо висновок, що

(2.4)

Так як , то в околі міститься хоча б одна точка з множини Е, тому внаслідок (2.4), в околі також міститься хоча б одна точка з множини Е. Тобто . Цим самим доведено співвідношення (2.3). З (2.2) і (2.3) слідує рівність (2.1).

3)Якщо , то кожна точка дотику є точкою дотику , цим самим властивість 3) доведена.

4)Доведемо, що

(2.5).

Покажемо, що

(2.6).

Нехай . Переконаємось, що , або . Якщо , то існує окіл точки такий, що в ньому нема жодної точки з . Якби не належала , то існував би окіл в якому нема жодної точки з . Тоді в околі , де нема точок ні з , ні з , а значить і з об’єднання , тобто , таким чином , або , а значить . Включення (2.5) доведено.

Доведемо обернене включення. З того, що і , слідує, що і , а значить і

(2.7).

З (2.6) і (2.7) слідує (2.5). Теорему доведено.

Дата добавления: 2015-05-24