Розділ 3. Відкриті і замкнені множини

(1.7).

(1.6).

Внаслідок збіжності існує натуральне , що при виконується нерівність

Нехай . Візьмемо , враховуючи, що , використовуючи (1.6) і (1.7), при будемо мати

.

Звідки слідує, що . Теорема доведена.

§ 2. Збіжність в просторах Rⁿ, l₂, C [ a;b ]

В цьому параграфі ми розглянемо, що означає збіжність в деяких просторах.

Розглянемо збіжність в просторі Rⁿ.

Нехай маємо послідовність , , і , де . Згідно з означенням границі послідовності, маємо: .

З нерівності , вірної при кожному k (k =1,2,…, n), робимо висновок, що при кожному k .

Таким чином ми бачимо, що із збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Вірно і навпаки. Нехай при кожному і, і =1, 2, …,n . Тоді , а це означає, що .

Висновок: збіжність в просторі Rⁿ еквівалентна покоординатній збіжності.

Розглянемо збіжність в l₂.

Нехай , , . Як і в попередньому випадку переконуємось, що з збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Візьмемо послідовність: ; …; ;…

Для кожного і, і =1, 2,…, існує границя , в той час, як послідовність простору не належить.

Розглянемо збіжність в просторі С[ a;b ].

Нехай , де (збіжність розуміється в метриці простору ). Це означає, що або . Візьмемо , тоді існує натуральне , що при виконується нерівність: , а значить, що при всіх виконується нерівність . Тобто послідовність функцій збігається рівномірно. Таким чином, із збіжності послідовності в метриці простору С[ a;b ] слідує рівномірна збіжність.

Нехай послідовність { x_n(t) } функцій з C[ a;b ] збігається рівномірно до функції x₀(t). З теорем про неперервність границі рівномірно-збіжної послідовності неперервних функцій, слідує, що х₀(t) неперервна функція, тобто x₀Î C[a;b]. Візьмемо e>0. Тоді існує натуральне число N, що при всіх виконується нерівність , для всіх , а значить, і при . Звідси робимо висновок . Тобто послідовність збігається до в метриці простору С[ a;b ].

Таким чином можна зробити висновок: збіжність послідовності функцій в метриці простору С[ a;b ] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності на сегменті [ a;b ].

Дата добавления: 2015-05-24