Розділ 2. Збіжність в метричних просторах

(4.3).

(4.2).

(4.1).

Приклади метричних просторів

I. Простір Rⁿ. Розглянемо множину, елементами якої є упорядковані набори n дійсних чисел . Якщо суму елементів і визначимо рівністю , а добуток , де – рівністю , і за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів х і у формулою:

Покажемо, що при цьому виконуються всі умови скалярного добутку.

1) – очевидно.

2) .

3)Нехай , , . Тоді

.

4)Для довільного х із даної множини маємо . Звідси робимо висновок: , причому тоді і тільки тоді, коли всі .Таким чином формула (4.1) визначає скалярний добуток.

Ввівши норму на даній лінійній системі формулою , ми одержуємо лінійний нормований простір.

Тепер можна ввести відстань між елементами таким чином: .

Означення 4.1. Простір, елементами якого є упорядковані набори п дійсних чисел , а відстань між елементами , визначається рівністю , називається простором .

II. Простір l_2. Розглянемо множину елементами якої є послідовності дійсних чисел таких, що .

Введемо суму елементів і таким чином: . Покажемо, що належить цій множині, тобто . Так, як при кожному п виконується нерівність і кожний із рядів ; збіжний, то на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, ряд теж збіжний, тобто х+у належать даній множині.

Якщо за добуток дійсного числа на елемент х із цієї множини приймемо послідовність , а за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів і формулою

Покажемо, що ряд, який стоїть в лівій частині рівності (4.2) є збіжний. З нерівності вірній при кожному , на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, слідує абсолютна збіжність цього ряду. Виконання умов скалярного добутку перевіряється так само, як і в попередньому пункті.

Введемо норму:

Таким чином дана лінійна система є нормованим лінійним простором, а значить і метричним, якщо за відстань між і прийняти: (4.4).

Означення 4.2. Простір, елементами якого є послідовності дійсних чисел, які задовольняють умову , а відстань між елементами і визначається формулою називається простором .

III.Простір С[а,в]. Розглянемо множину функцій неперервних на сегменті [а,в]. Якщо під сумою двох функцій розуміти звичайну суму функцій, під добутком числа на функцію , звичайний добуток числа на функцію, а за нульовий елемент прийняти функцію тотожньо рівну нулю, то дана множина стає лінійною системою. Введемо на цій системі норму рівністю:

(4.5)

Вираз в правій частині існує для будь-якої функції з даної множини внаслідок 2-ї теореми Вейєрштрасса.

Покажемо, що виконуються умови 1)-3) означення норми.

1.Нерівність , причому , тоді і тільки тоді коли очевидна.

2. .

3.Поскільки при кожному виконується нерівність , то і , або те саме, що .

Таким чином наша лінійна система стає нормованим простором, якщо норму визначити рівністю (4.5), а значить і метричним, якщо відстань між точками х, у цього простору визначити формулою

(4.6).

Означення 4.3. Простір елементами якого є функції неперервні на сигменті і відстань визначається формулою (4.6) називається простором .

Дата добавления: 2015-05-24