Тернопіль 2005

ДИПЛОМНА РОБОТА

Прохира Лілія Володимирівна

Теоретичні основи для реалізації розділу “ Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних” курсу математичного аналізу за допомогою комп’ютерних технологій

Наукові керівники:

доц. Талюш М. О.

доц. Балик Н. Р.

З м і с т

Вступ ….......................................................................................................................4

ЧАСТИНА I Елементи функціонального аналізу...............................................5

Розділ 1. Метричні простори.................................................................................. 5

§ 1. Поняття метричного простору........................................................................... 5

§ 2. Нормований метричний простір........................................................................ 6

§ 3. Скалярний добуток..............................................................................................7

§ 4. Приклади метричних просторів………………………………………………. 9

Розділ 2. Збіжність в метричних просторах....................................................... 12

§ 1. Границя послідовності...................................................................................... 12

§ 2. Збіжність в просторах Rⁿ, l₂, C [ a;b ]…………………………………………...16

Розділ 3. Відкриті і замкнені множини............................................................... 17

§ 1. Деякі поняття теорії метричних просторів..................................................... 17

§ 2. Замикання та його властивості..........................................................................19

§ 3. Замкнені множини та їх властивості............................................................... 21

§ 4. Відкриті множини та їх властивості................................................................ 22

Розділ 4. Неперервні відображення..................................................................... 23

§ 1. Поняття функції................................................................................................. 23

§ 2. Границя і неперервність функції...................................................................... 24

§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях……………………………………………………………………... 26

Розділ 5. Компактні множини.............................................................................. 26

§ 1. Компакти та їх властивості............................................................................... 26

§ 2. Компакти в просторі Rⁿ..................................................................................... 28

§ 3. Критерій компактності...................................................................................... 30

§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті.............................................. 32

Розділ 6. Повні метричні простори...................................................................... 34

§ 1. Приклади повних метричних просторів.......................................................... 34

§ 2. Властивості повних метричних просторів...................................................... 37

§ 3. Теорема Банаха.................................................................................................. 39

ЧАСТИНА II Диференціальне числення функцій багатьох змінних …….. 41

Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних....................................... 41

Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних................................ 46

§ 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності.................................................................................................... 46

§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних……………. 49

§ 3. Диференційовність складної функції.............................................................. 50

§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.................... 53

§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт...................................................................... 54

Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків........................... 57

§ 1. Частинні похідні вищих порядків.................................................................... 57

§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання...................................................................................................... 58

§ 3. Диференціали вищих порядків......................................................................... 61

§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних.......................................... 63

Розділ 4. Неявні функції………………………………………………………… 65

§ 1. Існування неявної функції однієї змінної…………………………………...65

§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних.................................................. 68

§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь.........................69

Розділ 5. Екстремуми функцій............................................................................. 71

§ 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних............................................. 71

§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм................................................... 72

§ 3. Достатні умови існування екстремуму............................................................ 73

§ 4. Умовний екстремум.......................................................................................... 77

ЧАСТИНА III Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних ”.................................................................................................................... 83

Висновки...................................................................................................................92

Список використаної літератури........................................................................ 93

Дата добавления: 2015-05-24