Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Критерій компактності




Відомо, що з будь-якої обмеженої послідовності {xn} дійсних чисел, можна виділити збіжну підпослідовність. Ця теорема називається теоремою Больцано-Вейєрштраса. Аналогічна теорема справедлива для послідовності з простору Rn.

Теорема 2.1. (теорема Больцано-Вейєрштраса в Rn). З будь-якої обмеженої послідовності в просторі Rn, можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай маємо послідовність х(1), х(2),…,х(m),.. елементів простору Rn, x(m)=(x1(m), x2(m),…,xn(m)). Припустимо, що дана послідовність обмежена. Тоді існує точка х(0)=(х1(0). х2(0),…,хп(0)) і дійсне число r таке, що , для всіх т. Тобто для всіх т виконується нерівність:

(2.1).

З нерівності , вірній при k=1,2,…,n, слідує, що кожна з числових послідовностей { xk(m) } – обмежена.

Візьмемо послідовність { x 1 (m) }. На основі теореми Больцано-Вейєштраса для дійсних чисел, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність , .

Розглянемо підпослідовність послідовності { x 2 (m) }. З неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай , і т. д. З підпослідовності виділити збіжну підпослідовність , .

Візьмемо підпослідовність , послідовності { х(т) }, . Оскільки , ,..., , то , де х*=(х 1 *,...,хп*). Теорему доведено.

Іноді дану теорему формулюють в іншому вигляді.

Теорема 2.1/. Будь-яка нескінченна обмежена множина в Rn, має хоча б одну граничну точку.

Доведення. Нехай обмежена нескінченна множина, тоді з неї можна виділити послідовність { х(т) }, причому х(k)¹ х(р), якщо k¹p. Внаслідок теореми 2.1, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Нехай границя цієї підпослідовності дорівнює х*. На основі теореми 1.1 розділу 3 (критерію того, що дана точка є граничною точкою множини), х* є Е/.

Теорема 2.2. Для того, щоб множина К простору Rn, була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення. Необхідність, слідує з теорем 2.1 і 2.2. Доведемо достатність.

Візьмемо послідовність { x(m) }, хт є К. З обмеженості множини К, слідує обмеженіть { x(m) }. На основі теореми Больцано-Вейєрштраса, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Очевидно х(0) точка дотику множини К. З замкненості К випливає, що х(0) є К. Звідси робимо висновок, що К – компакт.

 

Нехай маємо множину Е метричного простору Х і { Ya } – система відкритих множин цього простору.

Означення 3.1. Говорять, що система { Y a} відкритих множин, покриває множину Е, якщо кожна точка х є Е, належить хоча б одній з множин Ya, цієї системи.

Теорема 3.1. (Гейне-Бареля). Нехай К – компакт, який належить метричному простору Х. Тоді з будь-якого відкритого покриття компакта К можна виділити скінченне підпокриття.

Доведення. Нехай К – компакт, – довільне відкрите покриття К. Спочатку доведемо, що існує e0>0 таке, що при будь-якому х є К, куля S(x, e0 ) входить цілком в деяку множину .

Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться послідовність чисел e п®0, e п>0 і точок хп є М, таких, що кулі S(xn, e п) не ввійдуть ні в одну з множин Ya. З послідовності { xn }, можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х0 є К (внаслідок того, що К компакт). Так, як система покриває К, то знайдеться множина з цієї системи така, що . Внаслідок того, що є відкритою множиною, то цілком містить деяку кулю . Виберемо пк настільки великим, щоб і , з нерівності , справедливої для будь-якого х із кулі , робимо висновок, що , хоча за побудовою не може входити ні в одне . Це протиріччя доводить справедливість твердження.

Нехай e0>0 вибране так, що виконується вище доведене твердження. Покажемо, що існує скінченна кількість точок , , що .

Припустимо, що це не так. Візьмемо довільне х 1Î К. Тоді існує х 2Î К таке, що r(х 1; x 2)³e0 (в іншому випадку компакт містився б у кулі S (x 1;e0)). Аналогічно існує х 3Î К, таке, що r(х 1; x 3)³e0, r(х 2; x 3)³e0 і т.д. Одержимо послідовність { xn }, таку, що r(хi;xj)³e0, при i¹j. Очевидно, що жодна підпослідовність цієї послідовності не є фундаментальною, а значить і збіжною. Прийшли до протиріччя.

Таким чином існує скінченна кількість точок х 1, х 2,..., хр, хі Î К, що . Так, як цілком входить в деяку множину , то . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай К – непорожня множина метричного простору Х. Якщо із будь-якої системи { Y a}, відкритих множин, яка покриває К, можна виділити скінченне підпокриття, то К – компакт.

Доведення. Припустимо, що К не є компактом. Тоді існує послідовність { хп } така, що з неї не можна виділити підпослідовніть, яка збігається до точки множини К. Тоді кожна точка х множини К має окіл S(x;e) ( - залежить від х) в якому міститься не більше, як скінченна кількість елементів послідовності. (Якби в довільному околі якоїсь точки х* є К, міститься нескінченна множина точок послідовності, то існувала б підпослідовність послідовності { хп }, яка б збігалася до до х*). Множина куль S(x;e) покриває множину К. Внаслідок умови теореми, існує скінченна кількість куль S(уі, e і), (і=1,2,...,р), які покривають К. Так, як всі елементи послідовності { хп } містяться в , а в кожній S(уі, e і) міститься скінченна кількість елементів послідовності, то { хп } має скінченну кількість елементів, що суперечить означенню послідовності. Теорему доведено.

З теорем 3.1 і 3.1, слідує критерій того, що К є ком пактом.

Теорема 3.3. Для того, щоб множина К метричного простору Х була компактом, необхідно і достатньо, щоб з кожного відкритого покриття К можна було виділити скінченне підпокриття.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-24; Просмотров: 1007; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.