Властивості повних метричних просторів

Теорема 2.1. Будь-яка замкнена множина F повного метричного простору Х, сама є повним метричним простором (метрика в F визначається так само, як і в Х).

Доведення. Нехай { x_n } – фундаментальна послідовність, х_п Î F. Оскільки Х – повний простір, то існує границя цієї послідовності . Так, як F – замкнена множина, то х₀ÎF. Отже, будь-яка фундаментальна послідовність точок х_пÎF, має в F границю. Теорему доведено.

Теорема 2.2. Для того, щоб метричний простір Х був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Доведення.Необхідність. Нехай простір Х є повним простором, і – послідовність вкладених одна в одну замкнених куль цього простору, причому .

Покажемо, що послідовність { x_n }, центрів цих куль, утворює фундаментальну послідовність. Дійсно, так як при m>n , то . Оскільки r_n®0, то для будь-якого e >0 існує натуральне число N таке, що при n³N виконується нерівність r_n<e, а, значить при n³N маємо . А це означає, що { x_n } – фундаментальна послідовність. Внаслідок повноти Х, існує . Кулі вкладені одна в одну, тому при k³n. Оскільки замкнена множина, то , при кожному п, а значить . Необхідність доведена.

Достатність. Нехай будь-яка послідовність вкладених замкнених куль, радіуси яких прямують до 0, має спільну точку. Покажемо, що простір Х є повним простором. Нехай { x_n } фундаментальна послідовність точок цього простору. З означення фундаментальної послідовності матимемо: "e>0, існує п (e)Î N таке, що " тÎ N, m³n(e), справедлива нерівність:

Дата добавления: 2015-05-24