Задачи Л. Кэрролла

В своей книге "История с узелками" [13] Льюис Кэрролл приводит огромное количество изящных и остроумных логических задач. В отличие от современных академиков-"логиков" выдающийся английский математик не боится уронить свой авторитет, применяя совершенно новые методы для анализа и синтеза силлогизмов и соритов. В этих примерах восхищают яркость таланта учёного и писателя, юмор и увлекательность изложения чрезвычайно серьёзной науки. За сто с лишним лет на логическом небосклоне не появилось ни одной звезды, сопоставимой по гениальности с такими учёными, как Порецкий П.С. и Л. Кэрролл. Более того, все современные "авторитеты" от логики не доросли даже до освоения научного наследия своих великих предшественников и сделали всё, чтобы превратить науку о мышлении в болтологику. Автор с огорчением констатирует, что классическая логика деградировала по сравнению с концом 19-го столетия.

Мы вместе с читателями пройдёмся по всем задачам величайшего английского гения и проверим корректность их решения на основе Русской логики. Общеизвестна страсть Л.Кэрролла к "инверсной силлогистике". Вместо того, чтобы просто сказать, что "Все y суть m", знаменитый учёный обязательно всё вывернет наизнанку и заявит, что "Ни один m' не есть y". Простим Кэрроллу эту слабость и не будем корректировать его силлогизмы. Подобные уловки ещё имеют смысл в классической логике, которая приходит в замешательство от инверсных терминов, но в Русской логике такие выверты просто смешны. Кроме того, остроумный логик зачастую так закрутит текст посылки, что понять её смысл становится просто невозможно. Это уже слишком: условие задачи должно быть абсолютно прозрачным и математически жёстким, иначе такая постановка воспринимается как недомыслие. Однако следует подчеркнуть высочайшую дисциплину мышления гениального логика: он в каждой задаче оговаривает универсум и чётко формулирует содержание терминов. Современные "логики" сплошь и рядом нарушают эти требования.

Автор заранее извиняется за нарушение некоторых грамматических норм. Вызвано это стремлением сократить длинноты в суждениях при сохранении математической точности. Например, вместо фразы "Некоторые мучные изделия, не являющиеся сдобными булочками, не суть пышные" будет записано "Некоторые не-сдобные булочки не пышны". Дефис перед прилагательным "сдобные" означает логическое отрицание всего термина "сдобные булочки".

5. Произвести синтез и анализ силлогизмов([13], стр. 289) на основе алгоритмов ИЭИ и ТВАТ. Частноутвердительное суждение Ixy задаётся в базисе Васильева. Нумерация задач соответствует [13].

4.1

Ни одно m не есть x'.Все m' суть y.

Решение

M = Emx'Am'y = (m'+x)(m+y) = mx+m'y.F(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x = Ex'y'. m ===============---------------------- x ====================----------------- y --------============================= F(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x = Ex'y'.

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ совпали.

4.2

Ни одно m' не есть x.Некоторые m' суть y'.

Решение

M = Em'xIm'y' = m+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m ===============---------------------- x =========---------------------------- y1 --------------------==========------- y2 ==============----------------=====-- y3 ======------------------------=======

xy	F(x,y)
	i
	i

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла F(x,y) = Ix'y'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.

4.3

Все m' суть x.Все m' суть y'.

Решение

M = Am'xAm'y' = (m+x)(m+y') = m+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x -------------======================== y1 ======------------------------------- y2 --------------=====------------------ y3 ----============--------------------- y4 ================---------------------

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

Ответы совпали.

4.4

Ни один x' не есть m'.Все y' суть m.

Решение

M = Em'x'Ay'm = (m+x)(m+y) = m+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m ====================----------------- x -------------======================-- y1 ------------------=================-- y2 ----------=========================== y3 ==============-------==============--

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла нет заключения, что не соответствует скалярным диаграммам.

4.5

Некоторые m суть x'.Ни один y не есть m.

Решение

M = Imx'Eym = m'+y'.F(x,y) = y'+i = Ixy'(7). m ====================----------------- x -------------==========-------------- y1 --------------------------=========== y2 --------------------================= y3 ---------------------====------------

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) = y'+i = Ixy'(7).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ix'y'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.

4.6

Ни один x' не есть m.Ни одно m не есть y.

Решение

M = Ex'mEmy = (x+m')(m'+y') = m'+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x =========================------------ y1 ----------------------------========= y2 --------------------================= y3 ---------------------====------------

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла нет заключения, что не соответствует скалярным диаграммам.

4.7

Ни одно m не есть x'.Некоторые y' суть m.

Решение

M = Emx'Iy'm = m'+x.F(x,y) = x+i = Ixy(5). m ====================----------------- x =========================------------ y1 ----------------=========------------ y2 ========--------------=============== y3 -------------=============-----------

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) = x+i = Ixy(5).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ixy'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.

4.8

Все m' суть x'.Ни одно m' не есть y.

Решение

M = Am'x'Em'y = (m+x')(m+y') = m+x'y'.F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ====================----------------- x ===============---------------------- y1 ------------------=======------------ y2 ========----------------------------- y3 ====================-----------------

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) = x+i = Ixy(5).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ixy'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.

4.9

Некоторые x' суть m'.Ни одно m не есть y'.

Решение

M = Im'x'Emy' = m'+y. F(x,y) = y+i = Ixy(7). m ====================----------------- x --------------===============-------- y1 =========================------------ y2 =============================-------- y3 ====================------===========

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) = y+i = Ixy(7).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла отсутствует заключение, что не соответствует скалярным диаграммам.

4.10

Все x суть m. Все y' суть m'.

Решение

M = AxmAy'm' = (x'+m)(m'+y) = my+m'x'.F(x,y) = x'+y = Axy.

Поскольку алгоритм ИЭИ при получении общеутвердительного или общеотрицательного заключения работает безукоризненно, то в подобных случаях алгоритм ТВАТ можно не использовать.

Ответы по [13] и по алгоритму ИЭИ не совпали. У Кэрролла заключение выглядит несколько иначе: f(x,y) = AxyAy'x'. Здесь Кэрролл что называется перемудрил, поскольку Axy = Ay'x' = x'+y. Поэтому решение Кэрролла является простой тавтологией.

4.11

Ни одно m не есть x.Все y' суть m'.

Решение

M = EmxAy'm' = (m'+x')(m'+y) = m'+x'y.F(x,y) = x'y+i = Ix'y(3). m ====================----------------- x ----------------------------========= y1 ==========================----------- y2 =============================-------- y3 ====================------===========

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = x'y+i = Ix'y(3).

Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла отсутствует заключение, что не соответствует скалярным диаграммам.

4.12

Ни один x не есть m.Все y суть m.

Решение

M = ExmAym = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy.

4.13

Все m' суть x.Ни один y не есть m.

Решение

M = Am'xEym = (x+m)(m'+y') = my'+m'x'.F(x,y) = x+y' = Ayx.

4.14

Все m суть x.Все m' суть y.

Решение

M = AmxAm'y = (x+m')(m+y) = m'y+mx.F(x,y) = x+y = Ay'x =Ax'y = Ex'y'.

4.15

Ни один x не есть m.Ни одно m' не есть y.

Решение

M = ExmEm'y = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy = Axy' = Ayx'.

4.16

Все x суть m'.Все y суть m.

Решение

M = Axm'Aym = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy.

4.17

Ни один x не есть m.Все m' суть y.

Решение

M = ExmAm'y = (x'+m')(m+y) = m'y+mx'.F(x,y) = x'+y = Axy.

4.18

Ни один x не есть m'.Ни одно m не есть y.

Решение

M = Exm'Emy = (x'+m)(m'+y') = my'+m'x'.F(x,y) = x'+y' = Exy.

4.19

Все m суть x.Все m суть y'.

Решение

M = AmxAmy' = (m'+x)(m'+y') = m'+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x ===========================---------- y1 -----------------------------======== y2 ----------------------====----------- y3 ------------------------=============

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

4.20

Ни одно m не есть x.Все m' суть y.

Решение

M = EmxAm'y = (m'+x')(m+y) = mx'+m'y.F(x,y) = x'+y = Axy.

5. Приняв каждую из следующих пар конкретных суждений за посылку силлогизма, вывести заключение[13,стр.290].

5.1

Я совершил прогулку.Я чувствую себя лучше.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - я, x - совершившие прогулку, y - чувствующие себя лучше.

M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m -------------------===--------------- x ===========================---------- y1 ==============================------- y2 -----------------======-------------- y3 ---------------======================

xy	F(x,y)
	i
	i
	i
	i

F(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые из тех, кто совершил прогулку, чувствуют себя лучше".

5.2

Никто не читал этого письма, кроме Джона.Никто из тех, кто не читал этого письма,не знает его содержания.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - прочитавшие письмо, x - Джон, y - знающие содержание письма.

M = (m ~ x)(m' ~ y') = (mx+m'x')(my+m'y') = mxy+m'x'y'.F(x,y) = xy+x'y' = (y ~ x).

Здесь Л.Кэрролл допускает по меньшей мере 2 ошибки: подменяет эквивалентность терминов посылок общеотрицательными функторами и оперирует с единичным множеством как с общим.

m -------------------===--------------- x -------------------===--------------- y -------------------===---------------

xy	F(x,y)

F(x,y) = xy+x'y' = (x ~ y),

т.е. "Джон и только Джон знает содержание этого письма".

5.3

Те, кто не стар, любят ходить пешком.Ни вы, ни я не стары.

Решение

Введём следующие обозначения:

U - люди, m - старые, x - любящие пешую ходьбу, y - вы и я.

M = Am'xEym = (m+x)(m'+y') = my'+m'x.F(x,y) = x+y' = Ayx,

т.е. "Вы и я любим ходить пешком".

5.4

Ваш курс всегда честен.Ваш курс - лучшая политика.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - курсы, m - ваши, x - честные, y - курсы, являющиеся лучшей политикой.

M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m =====================---------------- x ===========================---------- y1 ==============================------- y2 ==========================----------- y3 ========================---==========

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Честный курс - иногда лучшая политика".

5.5

Ни одно жирное животное не может бегать быстро.Некоторые гончие бегают быстро.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - животные, m - быстрые, x - жирные, y - гончие.

M = ExmIym(8) = (m'+x') & 1 = m'+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x -------------------------============ y1 ----------=============-------------- y2 =====---------------================= y3 ----------------=============--------

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) = x'+i = Ix'y(5),

т.е. "Некоторые гончие не жирные". Казалось бы, ответ совпал с результатом Л. Кэрролла, однако Кэрролл не оговорил базис, а следовательно, он ошибся: в классической силлогистике используется лишь базис Аристотеля.

5.6

Некоторые из тех, кто достоин славы, получают награду.Лишь тот, кто храбр, достоин славы.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - достойные славы, x - получающие награду, y - храбрые.

M = ImxEy'm(8) = (m'+y) & 1 = m'+y. F(x,y) = y+i = Ixy(7). m =====================---------------- x ----------------==========----------- y1 =======================-------------- y2 ==============================------- y3 ====================----=============

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) =y+i = Ixy(7),

т.е. "Некоторые храбрецы получают награду". Вновь результат Л.Кэрролла некорректен, хотя в словесной формулировке заключения идентичны: великий логик в принципе был не в состоянии определить базис.

5.7

Конфеты сладкие.Некоторые сласти очень нравятся детям.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - лакомства, m - сладости, x - конфеты, y - любимые детьми лакомства.

M = AxmImy(8) = (x'+m) & 1 = x'+m.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x ============------------------------- y1 ----------------=========------------ y2 ================---------============ y3 ---------=============---------------

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) =x'+i = Ix'y(5),

т.е. "Некоторые не-конфеты - любимые детьми лакомства". Л.Кэрролл ошибочно утверждает, что заключение вывести нельзя.

5.8

Джон находится в этом доме.Все, кто находится в этом доме, больны.

Решение

Введём следующие обозначения: универсум u - люди, m - находящиеся в этом доме, x - Джон, y - больные.

M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+my.F(x,y) = x'+y = Axy,

т.е." Джон болен". Синтез по алгоритму ТВАТ даёт такой же результат, хотя аналитические операции с одиночными множествами далеко не всегда приводят к корректным заключениям.

5.9

Зонтик - очень нужная вещь в путешествии.Отправляясь в путешествие, всё лишнее следует оставлять дома.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - вещи, m - нужные, x - зонты, y - вещи, которые следует оставлять дома.

M = AxmAm'y = (x'+m)(m+y) = x'y+m.F(x,y) = x'y+i = Ix'y(3). m =====================---------------- x ============------------------------- y1 ----------------===================== y2 ================----================= y3 ---------============================

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) =x'+i = Ix'y(3),

т.е. "Некоторые не-зонты следует оставлять дома". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.

5.10

Музыка, которую можно услышать, вызывает колебания воздуха.Музыка, которую нельзя услышать, не стоит того, чтобы за неё платили деньги.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - музыка, m - слышимая музыка, x - вызывающая колебания воздуха, y - стоящая того, чтобы за неё платили деньги.

M = AmxAm'y' = (m'+x)(m+y') = m'y'+mx.F(x,y) = x+y' = Ayx,

т.е. " Вся музыка, которая стоит того, чтобы за неё платить деньги, вызывает колебания воздуха".

5.11

В некоторые праздничные дни идёт дождь.Дождливые дни навевают тоску.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - дни, m - дождливые, x - праздничные, y - тоскливые.

M = IxmAmy = m'+y.F(x,y) = y+i = Ixy(7). m =====================---------------- x ----------------============--------- y1 =======================-------------- y2 ===========================---------- y3 ====================---==============

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) =y+i = Ixy(7),

т.е. "Некоторые праздничные дни тоскливы". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.

5.12

Ни один француз не любит пудинга.Все англичане любят пудинг.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u -люди, m - любящие пудинг, x - французы, y - англичане. M = EmxAym =(m'+x')(m+y') = m'y'+mx'.

F(x,y) = x'+y' = Exy,

т.е. "Ни один француз - не англичанин".

5.13

Ни одну фотографию, на которой девушка хмурится или неестественно улыбается, нельзя считать удачной.Ни один фотограф не может удержаться, чтобы не снять девушку нахмуренной или неестественно улыбающейся.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - портреты девушек, m - портреты нахмуренных или неестественно улыбающихся девушек, x - удачные, y - фотолюбительские. M = EmxAym =(m'+x')(m+y') = m'y'+mx'.

F(x,y) = x'+y' = Exy,

т.е. "Ни одну любительскую фотографию девушки нельзя считать удачной".

5.14

Все бледные люди флегматичны.Ни о ком нельзя сказать что у него поэтическая внешность, если он не бледен

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - бледные, x - флегматичные, y - с поэтической внешностью.

M = AmxEym' =(m'+x)(m+y') = m'y'+mx.F(x,y) = x+y' = Ayx,

т.е. "Все поэтические натуры флегматичны".

5.15

Ни один старый скряга не жизнерадостен.Некоторые старые скряги тощи.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - старые скряги, x - жизнерадостные, y - тощие. M = EmxImy = m'+x'.

F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x ------------------------------======= y1 -------------===========------------- y2 -------------=================------- y3 =====----------------------==========

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) =x'+i = Ix'y(5),

т.е. "Некоторые нежизнерадостные особы -тощие". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.

5.16

Те,кто сохраняет самообладание, не вспыльчивы.Некоторые судьи вспыльчивы.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - вспыльчивые, x - сохраняющие самообладание, y - судьи.

M = Axm'Iym = m'+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5).F(x,y) =x'+i = Ix'y(5),

т.е. "Некоторые судьи теряют самообладание". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.

5.17

Все свиньи жирные.Ни одно животное, вскормленное на ячвенном отваре, не жирно.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - животные, m - жирные, x - свиньи, y - вскормленные на ячменном отваре.

M = AmxEym = (m+x')(y'+m') = m'x'+my'.F(x,y) = x'+y' = Exy,

т.е. "Ни одна свинья не вскормлена на ячменном отваре".

5.18

Все непрожорливые кролики черные.Ни один старый кролик не склонен к воздержанию в пище.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - кролики, m - прожорливые, x - чёрные, y - старые.

M = Am'xEym' = (m+x)(y'+m) = xy'+m.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m =======================-------------- x ---------------====================== y1 -----------------=====--------------- y2 ---=======--------------------------- y3 ===================------------------

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) =xy'+i = Ixy'(3),

т.е. "Некоторые чёрные кролики не старые".

5.19

Некоторые картины свидетельствуют о зрелости их автсров.Незрелый художник не пишет ничего подлинно ценного.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - произведения искусства, m - зрелые произведения, x - картины, y - представляющие подлинную ценность.

M = ImxEm'y = y'+m. F(x,y) = y'+i = Ixy'(7). m =======================-------------- x ---------------====================== y1 -----------------=====--------------- y2 ---=======--------------------------- y3 ===================------------------

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) =xy'+i = Ixy'(3),

т.е. "Некоторые картины не представляют подлинной ценности". У Л.Кэрролла нет заключения.

5.20

Я никогда не пренебрегаю важными делами.Ваше дело не имеет особой важности.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - дела, m - важные, x - пренебрегаемые, y - ваше.

M = EmxEmy = (m'+x')(y'+m') = m'+x'y'. F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ==================------------------- x -----------------------------======== y1 -----------------------===----------- y2 -------------------------------===---

xy	F(x,y)
	i
	i

F(x,y) =y'+i = Ixy'(7),

т.е. "Некоторые дела, которыми я пренебрегаю, не включают ваше дело". Здесь по алгоритму ТВАТ получено более корректное заключение, чем по алгоритму ИЭИ, т.к. учтены особенности единичного множества. У Л.Кэрролла нет заключения.

5.21

Некоторые уроки трудны.То, что трудно, требует особого внимания.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - предметы, m - трудные, x - уроки, y - требующие особого внимания.

M = IxmAmy = m'+y.F(x,y) = y+i = Ixy(7). m ==================------------------- x --------------==============--------- y1 ========================------------- y2 =================================---- y3 ==================--------===========

xy	F(x,y)
	ш
	i

F(x,y) =y+i = Ixy(7),

т.е. "Некоторые уроки требуют особого внимания". У Л.Кэрролла такое же заключение, но по умолчанию предполагается 3-й базис, т.е. базис Аристотеля, что неверно.

5.22

Все умные люди пользуются всеобщей любовью.Все обязательные люди пользуются всеобщей любовью.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - любимые, x - умные, y - обязательные.

M = AxmAym(x'+m)(y'+m) = m+x'y'.F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ==================------------------- x ===========-------------------------- y1 -------------------=====------------- y2 =====-------------------------------- y3 ===============----------------------

xy	F(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) =y+i = Ix'y'(3),

т.е. "Некоторые неумные - необязательные". У Л.Кэрролла нет заключения, что неверно.

5.23

Невнимательному человеку ничего не стоит допустить оплошность.Ни один внимательный человек не забывает о своём обещании.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - люди, m - внимательные, x - допускающие оплошность, y - забывающие свои обещания.

M = Am'xEmy = (x+m)(y'+m') = my'+m'x.F(x,y) = x+y' = Ayx,

т.е. "Все забывчивые допускают оплошность".

Остальные задачи этого параграфа у Л.Кэрролла даны без решений и ответов, поэтому мы их оставим для самостоятельной проработки. Однако задача 5.34 представляется любопытной, посему сделаем для неё исключение.

5.34

Ничто разумное никогда не ставило меня в тупик.Логика ставит меня в тупик.

Решение

Введём следующие обозначения:

Универсум u - науки, m - ставящие в тупик, x - разумные, y - логика.

M = EmxAym = (x'+m')(y'+m) = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Ayx',

т.е. "Вся логика неразумна". Весьма симптоматичное заявление маститого логика. С этим мнением нельзя не согласиться, если иметь в виду классическую логику и классических "логиков".

Дата добавления: 2015-05-08