Практикум по силлогистике

Базис Аристотеля-Жергонна

Базис Васильева

Русский базис

Краткая справка

Силлогистика

Любой базис может быть представлен с помощью атомарного базиса,состоящего всего из двух функторов: Axy = x'+y, Ixy = x+y+x'y' = 1

Axy(2) = Axy = x'+yExy(2) = Axy' = x'+y'Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y' = x+y+iAxy(8) = Axy = x'+yExy(8) = Axy' = x'+y' = EyxIxy(8) = Ixy = Iyx = Ix'y' = Ix'y = Ixy' = x+y+x'y' = 1Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y Exy(3) = Axy' = x'+y'Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+iOxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = Ixy'(3)

Варианты частноутвердительного силлогистического функтора Ixy

1. Ixy = Ixy || Ayx || Axy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) = xy+x'y'+i2. (Ixy)' = j(xy'+x'y)

4. Ixy = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y' = x+y+i5. Ixy)' = jx'y'

7. Ixy = Ixy || Axy || Ayx || Ax'y || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+i8. Ixy)' = j(x'+y')

10.Ixy = Ixy || Ayx = x+y'+ix'y = x+y'+i11.(Ixy)' = jx'y

13.Ixy = Ixy || Ayx || Ax'y = x+ix' = x+i14.(Ixy)' = jx'

16.Ixy = Ax'y = Ay'x = Ex'y' = x+y17.(Ixy)' = x'y'

19.Ixy = Ixy || Axy || Ax'y = y+iy' = y+i20.Oxy = jy'

2. Функтор Васильева изображен на рисунке.

23.X ==============-------------24. 25.Y ------===============------26. 27.Ixy = 1

Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез силлогизма)

1. Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов A,E,I,O.
2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк- ции всех посылок.
3. Получить из М функцию М(х,у), заменив средний член m или m' на 1.Если средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х,у) является заключением силлогизма. Если в М встречается терм im или im', то заключения не существует.

Алгоритм "ТВАТ" (графический синтез силлогизмов)

1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.
2. Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.
3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y) в четырёхзначной комплементарной логике.
4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Алгоритм "РЕДАН" (синтез недостающей посылки).

1. Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения с помощью скалярных диаграмм.
2. Занести в таблицу истинности все значения f(m,y) для входных наборов my: 00,01,10,11.
3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(m,y) в четырёхзначной комплементарной логике.
4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Задача 1

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.133].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует". Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).Ни один человек(m) не является счастливым(y).-----------------------------------------------F(x,y) =?

В данном силлогизме универсумом(U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат.

M = EmxEmy = (m'+x')(m'+y') = x'y'+mF(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),

т.е. "Некоторые смертные несчастливы".

Здесь и далее индекс в скобках обозначает номер базиса. По алгоритму ТВАТ получим графическое решение.

m ===================------------------ x -----------------------------======== y1 ----------------------=====---------- y2 ------------------------------======= y3 ------------------------============= y4 ----------------------==========-----

xy	f(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),

т.е. результаты аналитического и графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е правило посылок.

Задача 2

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным". Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) - животные(x).Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).----------------------------------------F(x,y) =?

В качестве универсума(U) примем множество смертных существ. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ.

m =========---------------------------- x ===================================== y ---------------------------==========

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: "Все хвостатые существа - животные", что опровергает 2-е правило посылок.

Задача 3

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует". Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).Некоторые люди (m) бескультурны (y).--------------------------------------F(x,y) =?

Пусть U - множество животных. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный. Животные по определению не могут быть культурными. Поскольку аналитический метод синтеза силлогизмов по алгоритму ИЭИ не обладает необходимой наглядностью, то вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

m =========---------------------------- x -----================================ y1 ---------============================ y2 ---================================== y3 =====----============================

xy	f(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые неграмотные бескультурны". Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность 3-го правила посылок. Разумеется, полученное заключение не единственно возможное, однако оно вполне имеет право на существование. Кроме того, если мы ограничим универсум каким-либо локальным случаем, то вполне может оказаться истинным лишь одно заключение (ситуация Y1): "Все грамотные - культурны". Такое заключение перечёркивает 4-е правило посылок[8,стр.135]:" Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным".

Таким образом в ходе решения трёх задач мы доказали некорректность всех четырёх правил посылок классической силлогистики[8]. Следовательно, классическая силлогистика в принципе не может решать поставленные перед нею проблемы. Преподавать классическую логику преступно по отношению к студентам и школьникам.

Задача 4

Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)Все квадраты(m) суть ромбы(y)----------------------------------------f(x,y) =?

Решение

По алгоритму ИЭИ получим:

M = AmxAmy (m=xy) = (m'+x)(m'+y)(mxy+m'x'+m'y') = mxy+m'x'+m'y'f(x,y) = xy+x'+y' = Ixy(8)

В качестве третьей посылки мы ввели определение квадрата как прямоугольного ромба.

Если в качестве универсума используем понятие "параллелограммы", то получим по алгоритму ТВАТ аналогичный результат.

m ==============----------------------- x =====================---------------- y ==============-----------------======

xy	f(x,y)

Если в качестве универсума выберем лишь множество, состоящее из прямоугольников и ромбов, то получим иной результат.

m --------------=========-------------- x --------------======================= y =======================--------------

xy	f(x,y)

f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Задача 5

Если в силлогизме

Все люди(x) смертны(m)Сократ(y) - смертен(m)

в качестве универсума примем множество живых существ,т. е. только смертных, то, не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.

M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+mF(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)

Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ:

m ===================================== x =================-------------------- y1 --------------------------==--------- y2 --==---------------------------------

xy	f(x,y)
	i
	i

f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)

Мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным,поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. В этом заключается один из недостатков аналитического синтеза силлогизмов.

Задача 6

Провести синтез силлогизма:

Все люди (m) смертны (x)Некоторые люди (m) неграмотны (y)------------------------------------------------f(x,y) =?

Решение

Пусть в универсум входят люди,животные и боги. Богов будем считать грамотными.

M = AmxImy(8) = (m'+x) & 1 = m'+xf(x,y) = x+i = Ixy(5)

Проверим заключение по алгоритму ТВАТ.

m ==================------------------- x =======================-------------- y ---------==============--------------

x	y	f(x,y)

f(x,y) = y'+x = Ayx

Если мы посчитаем богов неграмотными, то заключение снова изменится.

m ====================----------------- x ==========================----------- y -----=================================

x	y	f(x,y)

f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Рассмотрим этот же силлогизм,но в отсутствии богов,т.е. не включим их в универсум.

m ==================------------------- x ===================================== y ---------============================

x	y	f(x,y)

f(x,y) = x = AyxAy'x

Этими вариантами не исчерпываются все ситуации: можно считать некоторых животных грамотными(дрессированными) или некторых богов неграмотными.

Задача 7

Найти заключение следующего силлогизма.

Некоторые люди(m) неграмотны(x)Некоторые люди(m) не знают русского языка(y)------------------------------------------------f(x,y) =?

Решение

Примем в качестве универсума множество смертных живых существ.

M = Imx(6)Imy(6) = (m+x)(m+y) = xy+mf(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые неграмотные не знают русского языка".

m ====================----------------- x -----------========================== y1 ========---------==================== y2 -----================================ y3 --------------=======================

xy	f(x,y)
	i
	i
	i

f(x,y) = xy+i = Ixy(3)

В этом силогизме нарушено 3-е (главное) правило посылок: из двух частных посылок заключения с необходимостью не следует[8].

Задача 8

Найти недостающую посылку в силлогизме с одной посылкой и заключением.

Дано: M = Amx & f(m,y) -> Ixy(8).-----------------------------------Найти f(m,y) =?

Решение

В соответствии с алгоритмом "Редан" получим:

m ==============----------------------- x ============================--------- y1 ------------------------========----- y2 --------========================----- y3 =====================----------======

my	f(m,y)
	i
	i

F(m,y) = m'+i = Im'y(5)

Задача 9

Найти недостающую посылку:

Все люди (m) смертны (x)f(m,y) =?------------------------------------------------Все неграмотные (y) смертны (х)

Решение

Пусть в универсум входят люди,животные и боги,т.е. существа. Богов будем считать грамотными. Поскольку под грамотностью мы понимаем умение читать и писать, то всех животных необходимо признать неграмотными по определению. Тогда в соответствии с алгоритмом "Редан" получим следующие скалярные диаграммы:

m ====================----------------- x =============================-------- y ---------====================--------

m	y	f(m,y)

f(m,y) = 1 = Imy(8),

т.е. "Некоторые люди неграмотны".

Задача 10

Бертран Рассел в своей работе [28]на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.Некоторые животные - люди.--------------------------------Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления Б. Рассела. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в пренебрежении универсумом, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[13] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто бестолкова: в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что, если некоторые животные - люди, то и некоторые люди - животные, а остальные люди - по мнению Рассела, очевидно, растения, минералы или ещё что-нибудь неодушевлённое. Кстати, подобные ошибки характерны для преподавателей Оксфорда и Кембриджа[33]. Вторую посылку необходимо заменить суждением "Все люди - животные". В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди и только люди, т.е. "люди" и "разумные существа" - эквивалентные понятия. Следовательно, и первая посылка некорректна. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом мы должны считать Б.Рассела невеждой и бестолочью. Отредактировав академика,получим следующий силлогизм.

Все люди(m) и только люди разумны(x).Все люди(m) - животные(y).-----------------------------------------F(x,y) =?

Решение

Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир. По алгоритмам ИЭИ и ТВАТ:

M = (x"m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) = = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmyF(x,y) = x'+y = Axy. m =================-------------------- x =================-------------------- y =======================--------------

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение "Все разумные - животные", что вполне согласуется со здравым смыслом.

Пойдём навстречу Б.Расселу, "сыграем в поддавки", т.е. построим силлогизм, который укладывался бы в модус AII первой фигуры.

Все молодые люди(m) разумны(x).Некоторые студенты(y) - молодые люди(m).------------------------------------------F(x,y) =?

По алгоритму ТВАТ при универсуме U = разумные существа получим:

m =================-------------------- x ===================================== y ---------=============---------------

xy	x3

F(x,y) = x = Ayx & Ay'x.

Полученное заключение опять не соответствует выводу Б.Рассела и законам классической логики, но прекрасно согласуется со здравым смыслом и математикой. Эти примеры демонстрируют невежество не одного только маститого академика, но и всей мировой науки.

В своей книге [30] "Логика для студентов" О. А. Солодухин приводит большое количество задач. Это первый гуманитарий, который пытается привлечь математику для анализа силлогизмов. Проверим эти задачи алгоритмами ИЭИ и ТВАТ.

В дальнейшем все примеры будут построены на базисе Васильева, поскольку именно он более всего отражает логику здравого смысла.

Задача 11[29,стр.150]

Только философы эгоисты.Нет циника, который не был бы эгоистом.-----------------------------------------------------------Следовательно, все циники - философы.

Решение

Пусть x - философы, y - циники, m - эгоисты. Универсум - люди. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:

M = AmxAym = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mxF(x,y) = y'+x = Ayx,

т.е. наш результат подтвердил истинность заключения.

Проверим решение по алгоритму ТВАТ.

m ==================------------------- x ============================--------- y ========-----------------------------

xy	f(x,y)

F(x,y) = y'+x = Ayx,

т.е. результаты по алгоритмам ИЭИ и ТВАТ совпали.

Задача 12[29,стр.150]

Лишь глупые люди верят в конец света.Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.------------------------------------------------------------------------------------Всегда найдётся глупец, который не верит в гармонию мира.

Решение

Пусть х - глупые люди, m - верящие в конец света, у - верящие в гармонию мира. Универсум - люди.

M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy' f(x,y) = xy'+i = Ixy'(3) m =======================-------------- x =============================-------- y1 -----------------------------======== y2 -----------------------======-------- y3 -------------------------============

xy	f(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

Если трактовать заключение как "Все глупцы не верят в гармонию мира", то такой вывод ошибочен.

Задача 13[29,стр.150]

Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.Никто, ни один человек не верит политикам.----------------------------------------------------------------------------Все, кто верит политикам, не верит в себя.

Решение

Пусть х - кто верит в себя, m - Человек, у - кто верит политикам. Универсум - люди.

M = (x " m)Emy = (xm+x'm')(m'+y') = x'm'+xmy'f(x,y) = x'+y' = Exy. m =================-------------------- x =================-------------------- y -----------------------==============

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y' = Exy = Ayx' = Axy'.

Задача 14[29,стр.151]

Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.Только 12% членов парламента составляют юристы.-----------------------------------------------------------------------------------------------Не все, кто создают законы, являются юристами.

Решение

Пусть x - законотворцы, m - члены парламента, y - юристы. Универсум - люди.

M = EmxImy(8) = (m'+x')&1 = m'+x'F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m ==================------------------- x ------------------------------======= y1 ---------=====================------- y2 ---------=========================--- y3 =====--------------------============

xy	f(x,y)
	i
	i

F(x,y) = x'+i = Ix'y(5),

т.е. алгоритмы ИЭИ и ТВАТ дали одинаковые результаты,формально не подтверждающие заключение, поскольку в нём не указан базис.

Задача 15[29,стр.151]

Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.Настоящий бизнесмен не боится инфляции.____________________________________________Некоторые юристы не опасаются инфляции.

Решение

Пусть x - юристы, m - бизнесмены, y - не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум - люди.

M = IxmAmy = 1*(m'+y) = m'+yF(x,y) = y+i = Ixy(7). m ====================----------------- x ------------=================-------- y1 ================================----- y2 =============================-------- y3 =========================---=========

xy	f(x,y)
	i
	i

F(x,y) = y+i = Ixy(7).

Опять формальное несовпадение исходного заключения с полученными результатами, поскольку в заключении не указан базис.

Задача 16[29,стр.151]

Только политики верят в пользу насилия.Не всякий любитель насилия любит собственных детей.----------------------------------------------------------------------------------Некоторые политики не любят своих детей.

Решение

Пусть x - политики, m - любители насилия, y - не любящие своих детей родители.Универсум - люди.

M = AmxImy(8) = (m'+x)&1 = m'+xF(x,y) = x+i = Ixy(5) m =========---------------------------- x ====================----------------- y1 ------=========---------------------- y2 ========-------======================

xy	f(x,y)
	i
	i

F(x,y) = x+i = Ixy(5)

Опять формальное несовпадение результатов с исходным заключением.

Задача 17[29,стр.151]

Только в споре рождается истина.Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.-------------------------------------------------------------------------------Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.

Решение.

Пусть x - "родители истины",m - спорщики,y - глупец или мошенник.Универсум - люди.M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+myF(x,y) = x'+y = Axy. m ====================----------------- x ==========--------------------------- y ============================---------

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y = Axy.

Задача 18[29,стр.151]

Боязливый к прекрасному полу - боязлив и в жизни.Тот, кто знает логику, не боится женщин.----------------------------------------------------------Трус не разбирается в логике.

Решение

Пусть x - боязливый в жизни, m - боящийся женщин, y - знающий логику. Универсум - мужчины.

M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy',F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ==================------------------- x ===========================---------- y1 ---------------------====------------ y2 ---------------------================ y3 -----------------------------========

xy	f(x,y)
	i
	i
	i

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

В данном случае исходное заключение кардинально ошибочно.

Задача 19[29,стр.152]

Среди болтунов нет логиков.Только болтун может стать политиком.-------------------------------------------------------Ни один логик не станет политиком.

Решение

Пусть x - логик, m - болтун, y - политик. Универсум - люди.

M = EmxAym = (m'+x')(y'+m) = m'y'+x'y'+mx'F(x,y) = x'+y' = Exy. m ==============----------------------- x --------------------------=========== y =========----------------------------

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y' = Exy.

Задача 20[29,стр.152]

Иногда проходимец может оказаться ясновидцем.Если ты ясновидец, то не должен лгать.--------------------------------------------------------------------------------------Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.

Решение

Пусть x - проходимец, m - ясновидец, y - честный. Универсум - люди.

M = IxmAmy = 1&(m'+y) = m'+yF(x,y) = y+i = Ixy(7)

Задача 21[29,стр.152]

Лишь двоечник по убеждению - лентяй.Ни один студент не любит получать двойки.---------------------------------------------------------------Значит, среди студентов нет лентяев.

Решение

Пусть x - лентяй, m - двоечник, y - студент.Универсум - учащиеся.

M = AxmEym = (x'+m)(y'+m') = x'y'+my'+m'x'F(x,y) = x'+y' = Exy. m ================--------------------- x =============------------------------ y ---------------------------==========

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y' = Exy.

Задача 22[29,стр.152]

Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.Только демократическое государство может быть правовым.------------------------------------------------------------------------------------------------Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.

Решение

Пусть x - реализующее права граждан государство, m - правовое государство, y - демократическое государство. Универсум - государство.

M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+my = m'x'+myF(x,y) = x'+y = Axy. m ===================------------------ x =============------------------------ y ============================---------

xy	f(x,y)

F(x,y) = x'+y = Axy.

Задание 4.1

1. Проверить 64 модуса всех четырёх фигур силлогистики в базисе Аристотеля-Жергонна.
2. Проверить 64 модуса всех четырёх фигур силлогистики в базисе Васильева.

Дата добавления: 2015-05-08