Основные теоремы о пределах. О сжатой переменной. О ограниченнойфункции

Пределы последовательностей и функции.

ТЕОРЕМА №5: (об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.

Доказательство:

Возьмем производную , по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:

Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*) лишь конечное число:

Рассмотрим множество чисел: выберем из них самое большое и обозначим , тогда при всех выполняется: , ч. т. д.

ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:

и

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом .

, ч. т. д.

Дата добавления: 2015-05-08