Первый зам предел о синусе

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:

и

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом .

, ч. т. д.

(об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.

Доказательство:

Возьмем производную , по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:

Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*) лишь конечное число:

Рассмотрим множество чисел: выберем из них самое большое и обозначим , тогда при всех выполняется: , ч. т. д.

28.Первый замечательный предел (о синусе).

Если угол х выражен в радианах, то .
Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскрытия неопределенностей вида .
Пример. Найти предел функции .
Решение. Здесь неопределенность вида . Преобразуем данную функцию: .
Обозначим 12х=U, причем
т.е. при х => 0 и U => 0. Следовательно, . Аналогично, положив 3x=U, получим . Следовательно
Ответ: 4.
Пример. Найти . Имеем неопределенность вида .
Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х= tgU и при х => 0 имеем U => 0. Следовательно,

29.Второй зам предел об экспоненте.

Он имеет вид: ,
где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828….
Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются log _ex = ln 1.0pt'>x. С помощью этого предела раскрывают так же неопределенность вида {1^∞}.
Пример. Найти . Здесь неопределенность вида {1^∞}.
Решение. Преобразуем выражение в скобках.
.
Обозначим , тогда , , , причем при n => ∞, имеем α => 0. Следовательно,

Ответ: .

30. Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Дата добавления: 2015-05-08